PROBLEME IV

*699 Évaluer le volume engendré par une figure Fig. 285. plane symétrique par nippon à un axe } en tournant autour d’une droite parallèle h cet axe et tracée dans son plan.

Soit XY l’axe de symétrie de la courbe proposée ; j’inscris dans cette courbe un polygone quelconque ABCDEFGH qui soit symétrique par rapport à XY, et je cherche les volumes engendrés par les triangles ABU et DEF, et par les trapèzes HC et GD.

Le volume engendré par le triangle BAH est la différence des deux troncs de cône I ABK et IA H K ; ainsi * il a pour mesure

J tt I K . (BK* + Âï’ + BK . AI — ÂI'—TTK’— A I . H K) ;

O,., BK 1 — HK’==(BK + HR) (BK — HK)=2AI . BII, car on sait que la différence des carrés de deux quantités est égale au produit de la somme de ces quantités multipliés par leur différence (note (') du n° 394);d’un autre côté BK . AI— AI . IIK= AI (BK— HK)= AI .BU; donc on trouvera en réduisant 7tAI.IK.BII,

mais IK.BH est le double de l’aire du triangle ABU ;

donc V = ABH.2«AI.

Ainsi le théorème du n° 688 est encore vrai pour un triangle isocèle qui tourne autour d’une droite tracée dans son plan parallèlement à. son axe de symétrie.

Si on prolonge les côtés BC et GII jusqu’à leur rencontre en O sur XY , on verra que le trapèze BCGIi étant la différence des deux triangles COG et BOH, le volume qu’il engendrera aura pour mesure la différence des volumes engendrés par leurs aires, c’est-à-dire la sienne multipliée par 2 t:AI.

Donc le volume engendré par le polygone symétrique ABCDEFGTl a pour mesure le produit de son aire multipliée par 2 7 : AI.

Ce résultat est vrai , quelle que soit la grandeur des côtés et des angles du polygone symétrique que nous avons inscrit dans la courbe proposée; donc il le sera encore quand ces côtés seront infiniment petits, c’cst-àdirc quand ce polygone aura atteint sa limite, qui est la figure proposée. Donc le volume engendré par une surface plane symétrique par rapport h un axe , eu tournant autour d'une parallèle a cet axe et tracée dans son plan, a pour mesure l’aire de celle surface multipliée par la circonférence que décrit un point quelconque de l’axe de symétrie (').

Problème V.

700. Trouver le volume engendré par un octogone régulier tournant autour d’un de ses côtés.