B est facile de voir que le triangle KBC est isocèle et
qu’ainsi B K = K C = donc B E — a (1 y y 2 ) ,
et comme cette droite est évidemment le double de l’apotbéme, l’aire de l’octogone est égale h
2«*(1 + 1/2). Donc V = 27 t a\\ +^2 )\
( * ) Ce problème est extrait de la Géométrie de M. Catalan,
.Diflitizedj3jLGo.QgIe
1>E LA MESURE DES VOLUMES
Problème VI.
* 701 . Evaluer le volume d'un corps de figure quelconque .
Le moyeu le plus naturel qui se présente pour évaluer le volume d’un corps, c’est de le décomposer en parties dont on puisse calculer immédiatement les volumes. Supposons donc que l’on fasse glisser une ligne droite sur la surface du corps, de manière qu'elle reste perpendiculaire à un plan donué : elle engendrera la surface d’un cylindre dont la base ABC DEF, située |.-j„ .287. sur le plan dont il s’agit, sera la projection du corps sur ce plan. Je divise celte base par deux séries de lignes droites perpendiculaires entre elles et équidistantes les unes des autres, et par chacune je mène un plan perpendiculaire à celui de la base. De cette manière notre corps sera partagé en éléments tels que M'P, que l’on pourra regarder comme la différence de deux troncs mV et m P' de parallèlipipèdes rectangles, si les lignes de division de la base sont suffisamment rapprochées. Or, le volume de chacun de ces troncs est égal à faire A de sa base multipliée par le quart de la somme de ses quatre arêtes : d’où l’on conclut facilement, en mettant A en facteur commun, que le volume demandé a pour mesure le produit de l’aire A multipliée par le quart de la somme des arêtes de tous les éléments dans lesquels ou l’aura décomposé; et, comme il y aura des arêtes qui appartiendront à 1,2, 3 ou 4 éléments, il s’ensuit (pie , pour avoir le volume d’un corps, il faut partager sa projection sur un plan quelconque en rectangles, par deux séries de lignes droites d’autant plus rapprochées que l’on voudra plus d’ exactitude , puis, ayant élevé des perpendiculaires aux sommets de chacun de ces rectangles, mesurer les parties de ces perpendiculaires interceptées par la sur/ace du corps proposé, enfin multiplier l’aire de l'un des rectangles dans lesquels on aura décomposé ta projection du corps, par la somme faite des parties de ces
354 LEÇONS DE OÉUJUÊTKIE.
perpendiculaires qui répondent ii un somnu t commun il quatre rectangles , des Jivis quarts, de la moitié et du quart de celles qui répondent a un sommet commun à l/vis, deux ou un de ces rectangles.
Dans la marine on a besoin de mesurer ie volume de la partie de la carène d’un vaisseau qui est plongée dans l'eau. Alors on prend le plan vertical mené par la quille pour plan de projection , et l’on retombe ainsi sur la règle précédente
* 702. Scholie. Remarquons toutefois que les éléments dans lesquels nous avons décomposé notre corps n’ont pas tous pour bases des rectangles, mais seulement des portions de rectangles. On néglige alors ceux qui , il vue , paraissent répondre à des bases moindres que la moitié d’un rectangle, et l’on considère les autres comme des éléments entiers.
Problème VII.
* 705. Evaluer le volume de la tranche qu'on obtient en coupant un corps par deux plans parallèles.
Partageons l’épaisseur de la tranche en un assez grand nombre de parties égales, menons par tous les points de division des plans parallèles à ses bases, et projetons ensuite toutes les tranches élémentaires dans lesquelles nous l’aurons ainsi décomposée sur un plan Fig. 288. perpendiculaire à tous les plans sécants. Soit AB' la projection de l’une de ces tranches partielles. Je divise AB en un grand nombre de parties égales, et par les points de division je mène des plans CC', DD... perpendiculaires à la droite AB: je partage ainsi la tranche en éléments dont chacun aura pour mesure l’aire de l’un des rectangles élémentaires multipliée par le quart de la somme de ses quatre arêtes. Ainsi en désignant ces arêtes respectivement par a et a, b et b\ c et c . . . on aura pour expression du volume v de la tranche AB :
DE LA MESURE DES VOLUMES
V = Al. LA, . j ,
OU il
, r „ AC/*4-«'+M-* #
= cc '-t(
fe+*'+rf+d'+....Y
Mais, en désignant par A et par A' les aires des bases de la tranche, on a(389j:
A = AC('^+4rf+....), A'=AC( n -^V+rf’+...),
et
donc
v —t±K.ca.
Ainsi le volume de l’une quelconque des tranches élémentaires est égal à la demi-somme des aires de ses bases multipliée par son épaisseur : d’où l’on conclura facilement, en raisonnant comme au n° 589, que, pour évaluer le volume d’une tranche quelconque d’un corps, il faut diviser son épaisseur en un assez grand nombre de parties égales, mener par les différents points de division des plans parallèles aux bases , puis ajouter a la demi-somme des aires de ces bases les aires de toutes les sections intermédiaires, et multiplier le résultat par la distance de deux plans sécants consécutifs.
Cette règle convient surtout pour évaluer le volume d’un corps terminé par une surface de révolution : car, en supposant les deux plans limites tangents à la surface aux points mêmes où son axe la perce, les sections sont des cercles, de sorte qu’il est alors facile d’évaluer leurs aires.
Problème VIII. ,
* 704. Evaluer l’aire d’une surface courbe quelconque.
Soit ABCDli la projection de cette surface sur un pjg, 287. plan quelconque. Si nous opérons comme au n° 701, nous décomposerons l’aire demandée eu quadrilatères
curvilignes , que l’on pourra d’autant mieux regarder comme des quadrilatères plans, que les plans sécants seront plus rapproches les uns des autres. Soit A l’aire de l’un MNPQ de ces petits quadrilatères , et a celle de sa projection m npq. Si nous convenons de designer par m y n, p, q , les perpendiculaires mm, n n , pp\ qq ' , abaissées des sommets de cette projection sur le plan du quadrilatère PM, et par M, N, P, Q, celles abaissées des sommets de celui-ci sur le plan de projection, nous aurons pour la mesure du volume du tronc de parallélipipède /«P la double expression :
