DE LA COMPARAISON DES VOLUMES
Théorème I.
708. Les volumes de deux pyramides semblables sont proportionnels aux cubes de leurs arêtes homologues.
Fig. 2-18. Puisque les deux pyramides sabcde et SABCDE sont semblables, leurs angles polyèdres s et S sont égaux : ainsi on pourra placer la première dans la seconde, de manière que les arêtes homologues de ces deux angles coïncident. De cette manière, la base abc de se trouvera en A'B'C'D'E' parallèlement à la base ABCDE : donc la hauteur Sü sera coupée au point O', en parties proportionnelles à SA et à SA', et par conséquent à AB et à A'B' ; de sorte qu’on aura :
S O : S(V ou s o :: AB : A'B' ou ab.
Mais la similitude des bases des deux pyramides donne aussi
ABCDE : abede :: AB 1 : ab*\
Multipliant ces deux proportions par ordre, puis divisant les deux termes du premier rapport par 3 , il viendra enfin :
ABCDE. iSO : abcde.\so :;ÂB 3 :7Tb\ ce qui démontre notre théorème (670).
Théorème H.
709. Les volumes de deux polyèdres semblables sont proportionnels aux cubes de leurs arêtes homologues.
En effet, nous pourrons partager les deux polyèdres en un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun, et semblablement disposés; puis former autant de proportions, en exprimant que chacun îles tétraèdres du premier polyèdre est à celui qui lui correspond dans le second , comme le cube d'une de. ses arêtes est au cube de l'arête homologue de l'autre tétraèdre. Mais, les polyèdres étant semblables, leurs arêtes et leurs diagonales homologues, et partant les cubes de ces arêtes et de ces diagonales, sont proportionnels : donc les seconds rapports de toutes nos proportions sont égaux , car ce sont des rapports de cubes d’arêtes ou de diagonales homologues des deux polyèdres. Les premiers rapports sont donc aussi égaux , et forment ainsi une suite dont les antécédents sont les tétraèdres du premier polyèdre, et dont les conséquents sont les tétraèdres correspondants du second : donc la somme de tous ces antécédents , etc.
TnÉonèME III.
710. Les volumes des cônes , des troncs de. cône, des cylindres , des secteurs sphériques, des onglets, des tranches et des segments semblables , sont proportionnels aux cubes de leurs lignes homologues.
Il sera facile de démontrer ces propositions en imitant les démonstrations du chapitre II du livre IX. Si , par exemple , on considère deux troncs de cône semblables, on désignera par V, 11, r et h, le volume, les rayons des bases et la hauteur de l’un, et par les mêmes lettres accentuées les quantités correspondantes du second. On aura alors (684) :
