DE LA SIMILITUDE

g. 1. Des figures semblables.

1. Deux lignes sont SF.Mr.nm.KS lorsqu'on peut les placer tic telle sorte qu’en menant par un meme point (les droites à tous leurs

, points , les hayons vectrvrs (c’est ainsi que l’on appelle ces droites) dont les directions coïncident , sont proportionnels.

Les figures terminées par ces lignes sont aussi dites semblables.

Ainsi , supposons que l’on ait transporté la ligne a bc k en A'B'C'K', et qu’en tirant par un certain point O les droites quelconques OA, OB, OC. . . • qui rencontrent la courbe A'B'C'K' aux points respectifs A', B', C', K' on ait la suite de rap-

ports égaux

o a : oa' : : ob ;ob':: oc :oc':: etc.

la ligne et la figure a b c k seront semblables à la ligne cl à la figure ABC K.

L’origine commune O de tous les rayons vecteurs se nomme le centre de similitude des deux lignes ou «les deux ligures ABCK et A'B'C'K', et les rayons vecteurs dont les directions coïncident sont dits homologues. Tels sont OA et OA'.

2. Si, en ramenant la ligne A'B'C'K' à sa position primitive a bc k, le point O va se placer en o, on dit que ces points O et o sont les centres de similitude de A B C K et île <7 b c k.

Si les rayons homologues sont parallèles et dirigés dans le même sens, les deux lignes sont alors semblables et semblablement placées. Sinon, elles sont simplement semblables.

Il est évident <|ue les rayons vecteurs «le l'une des deux lignes font entre eux les mêmes angles que les rayons vecteurs homologues de l’autre, c’est-à-diic que ceux auxquels ils sont proportionnels.

5. Il suit de là que pour construire une ligne semblable à une autre ABCK, on mènera d’un point quelconque O des

rayons vecteurs à des points A, B, C de celle-ci , d’autant

plus rapprochés que l’on voudra plus d’exactitude ; puis on tirera par un point quelconque o des droites oa, ob,oc

Fig. 291.

telles que les angles formés par la première avec toutes les autres soient respectivement égaux à ceux que O A fait avec On , OC . . . Prenant ensuite sur cts droites des distances oa , où , oc ... proportionnelles à O A, O B , OC. . et unissant les points a, b, r. . . . par un trait coutinu, le problème sera résolu.

TuÉOKKME I.

4. Lorsque deux lignes A BCK et nbek sont semblables , on finit prendre pour centre de similitude de l’une tel point que l’on veut de son plan , et il y mua toujours jmtr l'autre un centre correspondant de similitude.

Puisque les deux lignes sont semblables, on peut placer a bek, eu A'B'C'K' de telle manière qu’en tirant d’un certain point O des droites quelconques OA, OB, OC.... qui coupent la ligne A'B'C'K' aux points respectifs A', B', C'. , . . on ait :

oa;oa':: OB:OB'::etc.

et O est alors leur centre commun de similitude. Cela posé, prenons sur le plan des deux lignes un point arbitraire F, et joignons FO, FA, F B. . . . puis faisons glisser la seconde ligne de manière que tous ses points décrivant des droites parallèles à O F, le point A' soit venu se placer sur FA, je dis que les points B', C',. ... se seront placés aux points B", C*, . . . . où les parallèles menées à O F par les points B', C'.... coupent les droites respectives F B, FC. . . . Tirons en effet A' I parallèlement à F A , et joignons I B' on aura (217) :

o f : o i :: oa:oa':: ob : ob' ;

donc IB' est parallèle à FB (219), et par conséquent B' B*=IF= A' A"; par une raison semblable C’C c = A' A“ et ainsi de suite: donc la ligne A''B , ’C‘'K' , n’est autre chose que A'B'C'K' transportée parallèlement h ellc-mémc (213). Or, il est évident que FA FB FC

les rapports — j, — ; sout respectivement égaux aux

r A r li FC

OA OB OC rapports^,—

et sont par conséquent égaux en-

tre eux ; donc le point F est aussi un centre de similitude des deux lignes AB CK et A'B''C''K" (1), et le rapport de similitude u’a pas varié.

5. Schoue. Remarquons que le point F aurait pu être pris sur l’une des deux lignes, A BCK, par exemple. Dans ce cas, le point I eût été un point du périmètre de la seconde : car il divise 0 F dans le rapport de OA à OA', de sorte qu’eu transportant la ligue A'B'C'K' en A“B'C"K", le point 1 aurait été se

IIËS ilGLItliS» Sü.UBI VBI.Iüs.

placci cil K : donc I e ût etc le centre de similitude de A'B’C'K’ correspondant au centre F de A H C K.

G. Avant d’aller plus loin, nous observerons que dans deux Fig. 131. circonférences différentes les tirer AM B et A' M' B', les secteurs O A M B et O'A'M'B' et les* segments AM B A et A'M* I1A’ ijiti correspondent îi îles angles au centre égaux , sont semblables : car, en faisant coïncider ces deux angles, on reconnaît immédiatement que les rayons du plus grand des deux arcs, et les droites menées de son centre à sa corde, sont coupés en parties proportiounelles respectivement par le plus petit arc et par sa corde.

On peut conclure de là que deux circonféivnccs sont semblables , mais il est facile aussi de le démontrer a priori.

Il suit en effet du n° 226 que les droites rpti, comme AA' ou AA" , joignent les extrémités de deux rayons parallèles, et dirigés dans le meme sens ou en sens contraires , vont concourir en un même pointC ou C' surin droite 00’ qui joint les centres. Or je dis que ces points C et C' sont chacun un centre de similitude commun aux deux circonférences : car, si, par le point C , ou mène un rayon vecteur quelconque C B'B, et que l’on joigne O B et O B', ces deux lignes seront parallèles, sans quoi , en menant par le centre O le rayon O I parallèle à O'B', et joignant IB' cette droite devrait aller passer par le point C , ce qui est absurde. Les triangles O CB et O' CB' sont donc équiangles : donc le rapport de CB à CB' est le même que celui de O B à O'B’, et est par conséquent constant.

Donc deux circonférences sont deux courbes semblables qui ont deux centres communs de similitude. L’un C se nomme le ccntie de similitude iiikkct et l’autre C' le centie de similitude ixvküse, parce que les rayons vecteurs homologues qui en par tent sont dirigés en sens contraires.

TmÊonèME IL

7. Si deux figures sont semblables , et que l'une soit rectiligne , l’autre le sera aussi; elles auront chacune le même nombre d’angles et de côtés ; leurs angles seront égaux chacun à chacun, et leurs côtés homologues (ceux qui sont adjacents à des angles égaux) seront proportionnels.

Puisque les deux figures sont semblables , on pourra les pla- Fig. 292. cer de manière qu’elles aient un même centre de similitude O.

Joignons maintenant ce point aux sommets A, B, C. . . de la figure rectiligne, et soient A', B',C'. . . . les points où les droites de jonction rencontrent le périmètre de la seconde figure.

Si l’on lire A'B', on verra que celte droite, étant parallèle à AB (219), coupc en parties proportionnelles àOA et à OA'

NOTES SliU LA GEOMETRIE.

toutes les droites menées de O à A B ( 225 ) ; mais la portion du périmètre de la seconde figure qui est comprise entre OA' et O B' jouit de la même propriété: donc elle coïncide avec A'B'; donc à chaque côté du polygone A B CD E , correspond un côté de la seconde ligure, qui est ainsi un polygone, et 1rs sommets homologua de ces deux polygones sont situés sur des droites issues du point O. En second lieu , les angles des deux figures seront égaux chacun à chacun connue ayant les côtés parallèles et dirigés dans le même sens. Enfin leurs côtés homologues seront proportionnels : car, comme deux triangles équiangles jouissent de cette propriété, le rapport de AB à A'B' est le même que celui de O A à O A', et est par conséquent constant.

8. SciioLiF.. Remarquons tpie l’on aurait pu prendre pour centre de similitude l’un quelconque des sommets du polygone ABC. DE, et qu’alors le centre de similitude du second eut été le sommet homologue de ce second polygone.

Si le centre de similitude du premier polygone eût été placé en I sur un côté quelconque A B, le centre de similitude du second aurait divisé le côté homologue ah dans le rapport de A I à BI.

Enfin, si le centre de similitude du polygone AB CD E est un point quelconque O de son plan, on obtiendra celui du second en construisant sur un quelconque de ces côtés ah un triangle équiangle au triangle O AB, qui a pour base le côté homologue de A B C D E.

9. Il suit de là que, dans deux polygones semblables , les côtés et les diagonales homologues sont proportionnels.

Tiiéoekmf. III.

tü. Réciproquement, deux polygones sont semblables lorsqu 'ils ont leurs angles égaux chacun il chacun et leurs côtés homologues proportionnels.

292. Soient ABCDE et A'B'C'D'E' les deux polygones, cl supposons que les sommets homologues soient désignés par les mêmes lettres. Plaçons ces deux polygones de manière que deux angles homologues A et A ' aient leurs côtés homologues parallèles et dirigés dans le même sens, ce qui est toujours possible, puisque ces angles sont supposés égaux. Il suit immédiatement de cette disposition el de ce que les deux polygones sont équiangles entre eux , que tous leurs autres côtés homologues seront aussi parallèles et dirigés dans le même sens : ainsi l’égalité des angles B et B' exige que les côtés CB et C'B' soient parallèles et dirigés dans le même sens. Mais les deux polygones ont, en outre, leurs côtés homologues proportionnels; donc, en vertu de la proposition du n° 22(i , les droites AA', B B', et CC' iront se croiser en un même point O;

DES 1TGUHËS SKMULAG1.ES.

<lo même CC' ira concourir avec A A' cl B B', c’est-à-dire aussi en O et ainsi de suite, de sorte que les droites qui joindront les sommets homologues des deux polygones concourront en ce point O. Or, ces polygones ont de plus leurs côtés parallèles, donc tons les rayons vecteurs homologues issus de O sont proportionnels , et par conséquent ces polygones sont semblables.

1 1 . Scnoi.iF. Remarquons qu’t'/ suffit pour que les polygones soient semblables qu ’ ils aient tous leurs côtes moins un proportionnels et les angles compris égaux chacun à chacun, ou bien que tous leurs angles moins un soient égaux chacun h chacun et que les côtés adjacents à ces angles soient proportionnels. Si l’on suppose , en effet, que cette dernière condition soit remplie, de sorte que

E=E', A=A', B = B', C—C, et que A E : A'F/ : : A B : A'B' : : BC : B'C', on verra immédiatement , en répétant le raisonnement du n° 10, que les droites EE', AA', BB' et CC' iront concourir en un même point O; or, je dis que le point D' est sur la droite OI), car les droites E'L)' etC'D', étant respectivement parallèles à ED et à CD, doivent diviser OD, l’une dans le rapport de O E' à E'E et l’autre dans le rapport de OC' à C'C, c’est-à-dire dans le même rapport. Donc les droites E'D' et C'D' doivent concourir sur OD.

12. Corollaire. 1" Tous les carrés sont semblables ; 2° deux losanges ' qui ont un angle égal ; 3” deux rectangles dont deux côtés adjacents sont proportionnels ; 4 ” deux parallélogrammes qui ont un angle égal compris entre côtés proportionnels sont semblables.

Théorème IV.

13. Deux polygones semblables quelconques peuccnt être décomposés en un meme nombre de triangles semblables chacun à chacun cl semblablement disposés.

Nous pouvons d’abord décomposer l’un des polygones ABCDE, par exemple, en triangles. Cela posé, eu reprenant la démonstration du n° 7, on reconnaîtra que les deux polygones peuvent être placés de manière que leurs sommets homologues se trouvent sur des droites qui concourent à leur centre commun O de similitude, et divisent ces droites en parties proportionnelles. Par conséquent, tous leurs côtés et toutes leurs diagonales homologues sont parallèles: ainsi les triangles ABE cl A'B'E', BED et B' E'D’, etc., sont semblables chacun à chacun (1) cl scmblablemeut disposés (').

(’) Voyc i le renvoi de la page 116.

Si les triangles dans lesquels est décomposé lu polygone À BCDE avaient «les sommets autres que ceux du ce polygone, tels que S , on joindrait OS, on partagerait cette droite, au point S', en parties proportionnelles à OA' et à A' A , puis on tirerait S'A', S'il' et S'E’, et comme ces droites seraient parallèles respectivement à SA , S B et SE (210) , on en conclurait que les triangles ASB et A'S'B', ASE et A'S'E',etc., sontsemblables (1).

Tuéorkme V.

14. Béciproquemcnt, deux polygones qui sont composes d' un meme nombre de triangles semblables chacun h chacun et semblablement disposés, sont semblables.

Plaçons, en effet, les deux polygones de manière que deux angles homologues A et A' de deux triangles semblables aient leurs côtés homologues parallèles et dirigés dans le même sens. Il suit immédiatement de cette disposition et de ce que tous les triangles qui composent les deux polygones sont semblables chacun à chacun et semblablement placés, que tous les côtés homologues de ces triangles seront parallèles et dirigés dans le même sens. Ainsi l’égalité des angles ABC et A'B'C', CBD et C’B'D'. . . . exige que les côtés BC et B'C', C Ü et C'L)' .... soient parallèles et dirigés dans le même sens. Mais ces côtés sont en outre proportionnels; donc, en vertu de la proposition du n“ 22G , les droites A A' , B B' et E E', iront se croiser en un même point O ; tic même CC', ira concourir avec BB' et EE', c’est-à-dire en O et ainsi de suite, de sorte que les droites qui joignent les sommets homologues des deux polygones concourront en ce point O. Or, ces polygones ont de plus leurs côtés parallèles; donc tous leurs rayons vecteurs homologues issus de O sont proportionnels, et par conséquent ces polygones sont semblables.

15. Corollaire. Deux polygones sont égaux lorsqu'ils sont composés d'un même nombre de triangles égaux chacun à chacun, et semblablement placés.

Théorème VI.

Fig. 119. IG. Deux polygones A BCDE et A'B'C'D'E' sont semblables lorsqu’ en joignant les extrémités F et G , F' et G' de deux droites F G et F'G' avec tous les sommets de ces polygones , les triangles ainsi formés sont semblables chacun à chacun et semblablement disposés.

Plaçons, en effet, nos deux polygones de manière que deux angles homologues F et F' des deux triangles semblables F AG et F'A'G' aient leurs côtés homologues parallèles et dirigés dans

le même sens. Un voit immédiatement qu'en vertu du théorème du n" 221) les trois droites KF', A A' et O G' iront concourir en un même point O. Mais parce que les triangles BFG et B'F'G' sont semblables et semblablement placés, FB et F'B' seront parallèles; donc BU' ira concourir avec FF' et GG', c’est-à-dire à ce mémo point O , et de même pour CC', DU' et Eli'. Donc les droites qui joignent les sommets homologues des deux polygones concourent en un même point , et comme ces polygones ont de plus leurs côtés parallèles, puisque les points A', B', Ù . . . divisent OA , O B, OC. . . cil parties proportionnelles (217), on voit que tous les rayons vecteurs homologues issus de O sont proportionnels et que, pur conséquent, les deux polygones sont semblables.

Théorème VII.

! 7. Les périmètres de deux polygones semblables sont proportionnels aux côtés homologues de ces polygones.

Voyez le n® 265.

18. Les conditions de similitude de deux polygones doivent renfermer implicitement celles qui établissent que deux triangles sont semblables; maison conçoit cependant que quelquesunes de ces conditions peuvent être une conséquence indispensable des autres. C’est ainsi , par exemple , que deux losanges sont semblables par cela seul qu’elles ont un angle égal (12). Ou a, en effet, reconnu que deux triangles sont semblables dans cinq cas que nous allons examiner successivement.

Théorème VIII.

19. Deux triangles sont semblables quand ils ont deux angles égaux chacun à chacun.

En effet, leurs côtés homologues sont proportionnels, de sorte que ces triangles satisfont ainsi aux conditions énoncées au n“ 10.

On pourrait, nu reste, démontrer cette proposition directement de la manière suivante :

Soient, en effet, ABC et A'B’C' les deux triangles proposés. Fig. 242. Prenons AD= A'B', AF = A'C', et joignons DF. Le triangle ADF sera égal à A'B'C' (159): car l’angle A ~K'. Ainsi les angles homologues B' et D seront égaux : donc B— D ; donc les droites DF et BC sont parallèles, donc tous les rayons vecteurs menés de A à BC seront coupés en parties proportionnelles par DF; donc les triangles ABC et ADF ou A'B'C' sont semblables.

Théorème IX.

20. Deux triangles sont semblables lorsque leurs côtés sont rcs/iectii ’ement parallèles .

Voyez le n° 250.

Théorème X.

21. Deux triangles sont semblables lorsque leurs rôles sont respectivement perpendiculaires.

Voyez les n“* 251 et 252.

Théorème XI.

22. Deux triangles ABC, A'B'C', sont semblables lorsque leurs côtés sont proportionnels .

Supposons les côtés AB, AC et BC proportionnels aux côtés respectifs A'B', A'C' et B'C'. Prenons, comme au n° 19 , AD = A'B', af==a'c , et joignons DF. Cette droite coupera donc les côtés AB et AC en parties proportionnelles, et sera par conséquent parallèle à BC : ainsi les triangles ADF et ABC seront semblables, et leurs côtés homologues seront proportionnels : on aura donc

ab : ad :: bc : df.

Mais on a aussi, par hypothèse :

ab : a'b' :: bc : bc' :

donc, puisque AD = A'B', ces deux proportions ont trois termes correspondants égaux , et ainsi leurs quatrièmes termes D F et B'C' sont égaux. Il s’ensuit que le triangle A'B'C' est égal à ADF (1G7), et par conséquent semblable à ABC.

Théorème XII.

25. Veux triangles ABC, A'B'C', qui ont un angle égal A — A' compris entre côtés proportionnels AB et A'B' , AC et A'C', c’est-à-dire tels que l’on ait :

ab : a'b' :: ac : a'c',

sont semblables.

Cette proposition est une conséquence immédiate de la scholic du n* 11. Au reste, on pourra la démontrer h priori en répétant la démonstration du n" 19.

§. II. Des corps semblables.

2t. Deux surfaces sont sembladi.es lorsqu'on peut les placer de telle sorte qu 'en menant par un même point des droites it tous

leurs points, les rayons vecteurs dont les directions coïncident sont proportionnels.

Les corps terminés par ces surfaces sont aussi dits semblables.

2.'i. Il suit immédiatement de celte défin ition que si l’on coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base , la petite pyramide sera semblable à la grande (iG3).

Théorème XIII.

2G. Lorsque deux surfaces sont semblables , on peut prendre pour centre de similitude de l’une tel point que l’un veut de f espace, et il y aura toujours pour l’autre un centre correspondant de similitude.

Mémo démonstration qu’au n°

Théorème XIV.

27. Deux cônes droits, deux troncs de cône droits à bases parallèles et deux cylindres droits, sont semblables, lorsqu'ils sont engendrés par des figures semblables tournant autour de deux côtés homologues .

Même démonstration qu’au n* 6.

Théorème XV.

28. Deux calottes, deux segments et deux secteurs sphériques sont semblables, lorsqu'ils correspondent à des surfaces coniques égales.

Deux zones sont semblables, quand elles sont des différences de calottes semblables.

Deux trpnches sphériques qui correspondent à des zones semblables sont semblables.

Même démonstration qu’au n° G.

29. Corollaire. Deux sphères sont toujours semblables. Elles ont deux centres de similitude, dont chacun est le centre d’une stirface conique tangente aux deux sphères (Gj.

Théorème XVI.

50. Deux triangles sphériques sont semblables, quand ils correspondent à des trièdres égaux .

Deux fuseaux cl deux onglets qui correspondent à des angles dièdres égaux sont semblables.

Ceci est une conséquence immédiate de la définition des corps et des surfaces semblables.

Théorème XVII.

51 . Si deux corps sont semblables et que l’un soit un polyèdre, l'autre en sera aussi un ; ils auront chacun te meme nombre de

faces; ces faces seront semblables et semblablement disposées ('), et leurs angles dièdres et polyèdres seront égaux chacun à chacun.

Puisque ces deux corps sont semblables, on pourra les placer Fig. 293. de manière qu’iis aient un même centre de similitude O. Par ce point et par chaque arête du polyèdre menons des plans, et nous formerons une série de pyramides ayant O pour sommet commun , et pour bases tes différentes faces du polyèdre. Soient OABCDE une quelconque de ces pyramides, et A', B', C',D',E', les points où ses arêtes percent la surface du second corps. Ces points, divisant ces arêtes en parties proportionnelles (24), sont dans un même plan parallèle à la base ABCDE (4f>4), lequel divise dans le même rapport tonies les droites qui, issues de O, vont sc terminer à cette base. Mais la surface du second corps jouit tle la même propriété : donc la portion de cette surface qui est comprise dans la pyramide coïncide avec le polygone A' B' C' D' E', et est par conséquent semblable à ABCDE : donc û chaque face du polyèdre correspond une face semblable du second corps, qui est ainsi un polyèdre, et les sommets homologues de ces deux polyèdres sont situés sur des droites issues du point O. En second lieu, tous les angles dièdres homologues sont égaux comme ayant leurs faces parallèles et dirigées dans le même sens; enfin tous les angles polyèdres seront égaux chacun à chacun, puisque les angles plans qui les forment étant des angles homologues de polygones semblables, ils ont ainsi leurs faces homologues égaies, semblablement placées et également inclinées.

32. Scholie. Remarquons que l’on aurait pu prendre pour centre de similitude l’un quelconque des sommets du polyèdre, et qu’alors le centre de similitude du second eût été Te sommet homologue de ce second polyèdre.

53. D’où il suit que dans deux polyèdres semblables les arêtes et les diagonales homologues sont proportionnelles.

THÉontME XVIII.

34. Réciproquement , deux polyèdres P et P' sont semblables lorsqu’ils ont leurs faces semblables chacune à chacune, semblablement placées et également inclinées.

Plaçons les deux polyèdres de manière que deux angles homo-

('} C'est-à-dire , 1° que les deux angles dont le sommet commua est à l'une des extrémités de la droite qui assemble les deux faces du premier polyèdre auxquelles ils appartiennent , sont homologues de ceux dont le sommet commun est à l'une des extrémités de la droite qui assemble les deux faces semblables du second ; ï" que si l’on place l'une de ces deux faces sur sa correspondante de manière que deux côtés homologues coïncident , les deux autres faces seront d’un même côté du plan commun.

logues A et A' de deux faces semblables aient leurs côtes homologues parallèles et dirigés dans le meme sens. Il suit immédiatement do cetlc disposition et de ce que ces deux faces sont équiauglcs entre elles, que tous leurs côtés homologues seront parallèles et dirigés dans le mente sens. Mais ces côtés sont en outre proportionnels : donc les droites qui joindront les sommets homologues de ces deux faces concourront en un même point O , car le théorème du n° 226 est encore vrai quand les angles ne sont pas dans un même plan. Or, l’angle dièdre GABC est égal h G'A' B'C'; et comme les faces homologues sont semblablement placées par hypothèse, il s’ensuit que le plan A'B'F'G' est parallèle à ABFG et que les arêtes homologues de ces deux faces sont parallèles et dirigées dans le même sens. Puis donc qu’elles sont proportionnelles, FF' et GG' iront concourir avec AA' et B B', c’est-à-dire en O , et il en sera ainsi pour toutes les autres faces, de sorte que les droites qui joindront les sommets homologues des deux polyèdres concourront en ce point O. Or, ces polyèdres ont de plus toutes leurs faces parallèles : donc tous les rayons vecteurs homologues issus île O sont proportionnels, et par conséquent ces polyèdres sont semblables.

35. Corollaire. 1° Tous les cubes sont semblables ; 2° deux parallélipipèdes rectangles qui ont leurs arêtes proportionnelles ; 3° deux parallélipipèdes obliques qui ont un angle trièdre égal compris entre des arêtes proportionnelles ; 4° deux prismes qui ont un angle trièdre compris entre tes plans de trois polygones semblables chacun à chacun et semblablement placés sont semblables :'car toutes les faces latérales sont semblables chacune à chacune (12); et , comme elles sont d’ailleurs semblablement placées, leurs trièdres, et par conséquent leurs angles dièdres homologues , sont égaux.

36. Remarquons que le théorème précédent renferme plus de conditions qu’il n’en faut pour établir la similitude de deux polyèdres (608).

Thlorèhe XIX.

37. Deux polyèdres semblables quelconques peuvent être décomposés en un même nombre de pyramides semblables chacune h chacune et semblablement placées (').

Nous pourrons d’abord déromposcr l’un des polyèdres proposés eu pyramides (603). Cela posé, en reprenant la démonstration du n° 31 , ou reconnaîtra que les deux polyèdres peuvent dire places de manière que leurs sommets homologues

(') Voyez.le renvoi de la page 29C.

SOTES SUR I.A GÉOMÉTRIE.

su trouvent sur des droites qui vont concourir en un même point O, qui est leur centre commun de similitude, et divisent ces droites en parties proportionnelles. Par conséquent, toutes leurs faces et tous leurs plans diagonaux homologues seront parallèles (d(i-4) : ainsi les pyramides formées par ces faces et ces plans sont semblables chacune à chacune et semblablement placées.

Si les pyramides dans lesquelles est décomposé le premier polyèdre avaient des sommets autres que ceux de ce polyèdre, tels que S, on joindrait OS, on partagerait cette droite au point S' en parties proportionnelles à OA' et h A' A, puis on ferait passer des plans par S' et par les arêtes homologues à celles des pvramides dout le sommet est en S, et comme ces plansS'A'B', S'A'F/. . . seraient parallèles respectivement à SA B, SAE. . ., on en conclurait que les pyramides telles que SABCDE et S'A' B'C' U' E' sont semblables et ont le point O pour centre de similitude.

38. Scholie. Si l’on observe que deux pyramides quelconques peuvent être partagées en tétraèdres semblables et semblablement placés , on pourra donner du théorème précédent l’énoncé suivant :

Deux polyèdres semblables quelconques peuvent Are décomposés en un meme nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun et semblablement placés.

Théorème XX.

39. Réciproquement, deux polyèdres qui sont composés d’un même nombre de pyramides SABCDE et S'A' B' C'D' E', SABFG

et S'A'B'PG' semblables chacune il chacune et semblablement

placées sont semblables.

Plaçons , en effet , les deux polyèdres de manière que deux angles homologues B A E et B' A'E' de deux pyramides semblables aient leurs côtés homologues parallèles et dirigés dans le même sens. Il suit immédiatement de cette disposition et de la similitude des deux faces auxquelles ces angles appartiennent que tous les côtés homologues de ces faces seront parallèles et dirigés dans le même sens; mais ces côtés sont en outre proportionnels, donc les droites qui joindront leurs sommets homologues concourront en un même point O. Or, l’angle dièdre S'A' B'C' est égal à S A BC (30); donc le plan S'A'B' est parallèle à SAB, et les arêtes homologues de ces deux faces semblables seront parallèles et dirigées dans le même sens; donc SS' ira concourir avec A A' et B B', c’est-à-dire en O. Mais parce que les pyramides qui composent nos deux polyèdres sont semblables chacune à chacune et semblablement disposées, les angles

dièdres SABF et S'A'B'F' sont égaux ; par suite, les faces ABFG et A'B'F'G' auront leurs plans parallèles, leurs arêtes homologues parallèles, proportionnelles-et dirigées dans le même sens; de sorte que les droites FF' et GG' iront concourir avec AA' et BB', e’cst-A-dire en O, et ainsi de suite. Nous voyons donc que les droites qui joignent les sommets homologues de nos polyèdres concourent en ce point O; or, ces polyèdres ont, de plus, leurs faces parallèles ; donc tous les rayons vecteurs homologues issus de O sont proportionnels, et par conséquent ces polyèdres sont semblables.

40. Corollaire. Deux polyèdres sont égaux lorsqu'ils sont composés d’un meme nombre de pyramides égales chacune il chacune et semblablement placées.

41. Les conditions de similitude de deux polyèdres renferment implicitement celles qui établissent que deux tétraèdres sont semblables, mais on conçoit cependant que quelques-unes de ces conditions peuvent être une conséquence nécessaire des autres. C’est ainsi, par exemple, que deux prismes sont semblables par cela seul qu’ils ont un trièdre compris entre trois polygones semblables chacun à chacun et semblablement placés (35). On a effectivement reconnu que deux tétraèdres sont semblables dans quatre cas que nous allons examiner successivement.

Théorème XXI.

42. Deux tétraèdres sont semblables lorsqu’ils ont leurs arêtes proportionnelles et que les faces formées par les arêtes homologues sont semblablement placées.

Je prends, sur les arêtes SA, SB, SC , des parties SD , SE, Fig. 251. S F, respectivement égales A S'A', SC', S'C', et par les trois points D, E, F, je mène un plan- Ce plan seca parallèle A ABC, puisqu'il divise les arêtes du trièdre S en parties proportionnelles : donc le tétraèdre SDEF est semblable à SABC (2o).

Or, il est égal à S'A' IF C' ; car les faces des deux tétraèdres proposés étant semblables chacune A chacune (247), les faces du trièdre S sont respectivement égales A celles du trièdre S'; et comme nous avons supposé qu’elles étaient semblablement placées, ces deux trièdressont égaux; de sorte que les tétraèdres S'A' B' C' et S I) E F sont superposables. Donc S'A' B' C' est semblable à SABC.

43 Corollaire. Si l’on forme un tétraèdre avec quatre sommets d’un polyèdre, et qu’on en forme un second avec les quatre sommets homologues d’un polyèdre semblable, ces deux tétraèdres seront semblables (33).

Théorème XXII.

44 • Deux tétraèdres S AB C et S'A'B'C' sont semblables, lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces SAB et S'A' B', S AC et S'A'C' semblables chacune à chacune et semblablement placées.

Voyez le n° 6 H.

Théorème XXIII.

45. Deux tétraèdres sont semblables , lorsqu’ils ont une face semblable adjacente à trois dièdres égaux chacun à chacun, et dont les faces homologues sont semblablement placées.

Yoycz le n° 61 2.

Théorème XXIV.

46. Deux tétraèdres sont semblables, lorsqu’ils ont leurs dièdres égaux chacun h chacun, et que leurs faces homologues sont semblablement placées.

Voyez les n°* 61 5 et 61 4-

Théorème XXV.

47. Si Von coupe une surface conique par deux plans parallèles, les intersections seront des courbes semblables dont le rapport de similitude sera celui même des parties d’une même génératrice comprises entre ces plans et son centre, et dont les aires seront proportionnelles aux carrés des distances des plans sécants au centre de la surface.

Fig. 237. Menons, en effet , par le centre S une droite quelconque SO; par cette droite, et une génératrice quelconque SA, un plan. Soients AO et A'O' ses traces sur les deux plans sécants. Les triangles S AO et S A'O' seront équianglcs, et par conséquent

le rapport — — , sera égal à celui de S A à SA'. Mais ce dernier

est constant (465) : donc le premier l’est aussi; donc les deux courbes d’intersection sont semblables, et leur rapport de si-

militude est effectivement

si '■

Maintenant les aires des deux sections sont proportionnelles aux carrés des rayons vecteurs homologues AO et A'O', et par conséquent aussi aux carrés des lignes S O et S O’ . Si donc on a menéSO perpendiculaire au plan AO B, la seconde partie du théorème est démontrée.