DE LA SYMÉTRIE

48. Deux surfaces sont symétriques lorsqu’on peut les placer de telle sorte que toutes les droites menées par un certain point de f espace vont les percer en des points deux à deux équidistants du point dont il s’agit. Ce point se nomme le cehtbf. nF. symétrie des deux surfaces , qui alors sont dites symétriques par rapport à ce point.

Les corps terminés par deux surfaces symétriques sont euxmémes symétriques.

49. Il suit immédiatement de cette définition que , si l’on coupe deux angles polyèdres opposés par le sommet par deux plans parallèles et équidistants de ce sommet , les deux pyramides ainsi formées seront symétriques.

Théohèmf. I.

50. Lorsque deux surfaces sont symétriques , on peut toujours tes placer de telle sorte que tel point qu’on voudra de l’espace soit leur centre de symétrie.

En effet, puisque les deux surfaces sont symétriques, on peut toujours les placer de manière qu’en menant d’un certain point O des rayons vecteurs aux différents points A, B, C. . . . Fig. 294. tic la première, ces rayons, prolongés de quantités égales à eux-mêmes, aillent aboutir, en A', B', C' . . . . à la seconde surface. Le point O est leur centre de symétrie. Cela posé , prenons un point arbitraire F, et joignons FO, FA, F B, FC....

Menons A'I parallèle à A F, jusqu'à la rencontre de O F, et lirons B'I. On aura 01= OF, à cause de l’égalité des triangles AO F’ et A'OI (164) : donc les triangles OF B et 0 1 B' sont égaux (159) ; donc B1 est égale et parallèle à B F; donc, si par les points A', B', C' . . . ., on mène des parallèles A 'A", B' B",

C'C ". ... à FI, jusqu’à la rencontre des lignes respectives A F,

BF’, CF. . . . ces parallèles serontégales à FI, et la surface qui sera le lieu de tous les points A", B", C". . . . ne sera autre

chose que la surface A'B'C' transportée parallèlement à

elle-même. Mais F A”, F B" FC".... sont égales à IA', I B'i IC'.... et partant à FA, FB, FC.... donc le point F est un centre de symétrie des deux surfaces A B C. . . . et A"B' C". . . .

Théorème II.

5 1 . Deux corps symétriques peuvent être placés symétriquement par rapport à un plan donné quelconque , c’est-à-dire de telle sorte que les points homologues de leurs surfaces seront situés à égales distances du plan dont il s’agit, sur une même perpendiculaire à ce plan.

Plaçons les deux corps symétriquement par rapport à un point quelconque O du plan donné MN, et menons par ce point une perpendiculaire O Z à ce plan.

Voyez n° G22.

Théorème III.

o2. Réciproquement , si deux corps ARC.... et A"B*C”.... sont symétriques par rapport h un plan M N , ils pourront être placés symétriquement par rapport à un point quelconque O de ce plan , et, par suite , par rapport à tout point de l'espace.

Voyez le n° G25.

55. Il résulte de la définition des corps symétriques et du théorème du n° 50, qu'il existe une grande analogie entre ces corps et les corps semblables. Le rapport de similitude est alors l’unité; mais les rayons vecteurs homologues, au lieu d’être dirigés dans le même sens, le sont ici en sens contraires. On conçoit , d’après cela , que si l’on introduit ces deux modifications dans les énoncés et dans les démonstrations des théorèmes que nous avons établis sur les corps semblables, on aura les énoncés et les démonstrations des propositions correspondantes des corps symétriques.

Thèorèmf. IV.

54. Si deux corps sont symétriques , et que l'un soit un polyèdre , Vautre. en sera aussi un : ils auront chacun le même nombre de faces ; ces faces seront égales chacune à chacune , et inversement placées ; leurs angles dièdres seront égaux chacun à chacun, et leurs angles polyèdres seront symétriques (51).

55. Corollaire. Dans deux polyèdres symétriques les antes elles diagonales homologues sont égales (55),

Théorème V.

56. Réciproquement, deux polyèdres sont symétriques, lorsqu'ils ont leurs faces égales chacune à chacune, inversement placées et également inclinées { 5-4).

57. Corollaire. Deux triangles sphériques équilatéraux entre eux, sont symétriques lorsque leurs côtés homologues sont inversement placés.

Théorème VI.

58. Deux polyèdres symétriques peuvent être décomposés en un même nombre de pyramides symétriques chacune à chacune, et inversement placées (57).

Théorème VIL

59. Réciproquement, deux polyèdres qui sont composés d’un même nombre de pyramides symétriques chacune à chacune et inversement placées , sont symétriques (59).