DES LIMITES

(JO. On appelle mmitf, il'nrie quantité variable une quantité fixe dont elle s’approche indéfiniment , c’est-à-dire de manière que leur différence puisse être rendue moindre que toute grandeur donnée , sans cependant se réduire jamais rigoureusement à zéro.

Ainsi, si une certaine ijtianiiié devient successivement égale à 0,9; 0,99, à 0,999, à 0,9999, et ainsi de suite, elle pren-

dra des valeurs qui différeront de moins en moins de l'unité et qui en différeront d’une quantité aussi petite que l’on voudra , si on compose sa valeur d’un nombre suffisant de chiffres 9, mais jamais elle ne sera rigoureusement égale à l'unité. Cette quantité a donc l'unité pour limite.

Si on partage une ligne AB en deux parties égales au point C; Fig. 295. puisque l’on divise CB aussi en deux parties égales ; qne l’on partage ensuite DB en deux parties égales, et ainsi de suite, on formera une suite de droites AC, Al), AE, AF. . . . qui s'approcheront de plus en plus de devenir égales à AB , et on pourra évidemment en trouver une qui diffère de celte droite d’aussi peu que l'on voudra, mais qui ne lui sera jamais ligoureusement égale , ear il y aura toujours un intervalle entre le dernier point de division obtenu et le point B. La droite AB est donc la limite de la quantité variable qui aurait successivement pour ,

valeurs A C , A 1) , A E , AK....

61. Il suit immédiatement de la définition précédente que si deux tpiantités variables restent constamment égales entre cites , dans tous tes étals de grandeur par lesquels elles passent , leurs limites seront égales.

Soient , en effet , a et b ces deux quantités variables , et A et B les limites vers lesquelles elles tendent respectivement : on pourra assigner h a et par conséquent à b, qu’on suppose lui être constamment égale, une valeur qui diffère de A d’aussi peu qu’on voudra ; donc A est aussi une limite de b; donc A est égale à B , puisqu'il est évident qu'une même quantité ne peut pas tendre en même temps vers deux limites inégales.

62 . La limite de ta somme ou de la différence de deux quantités variables est égale à la somme ou à la différence de leurs limites.

Soient, en effet, a et b deux quantités variables dont les limites sont, représentées par A et par B; on pourra poser a=A-f-« et 6=B-f-|3,

a et étant deux quantités susceptibles de décroître indéfinimen t. Or, on tire de ces deux égalités

et )>ar conséquent

(a±by- (A±B)=±(«+|3);

mais (a-f-,9) est ’une quantité susceptible de décroître indéfiniment; donc (A±B) est la limite de ( a±.b ).

03 . La limite du produit de deux quantités variables est égale au produit de leurs limites.

En employant les mêmes notations que tout à l’heure , on aura

«6 = A B -f- A^-f-Ba-f-a^, et par conséquent

ab — AB = Ap-f-Ba-f-a^.

Mais d’après la nature des quantités a. et ,8, chacune des quantités A t 9, B a et a,S peut être rendue moindre que toute grandeur assignable; il en est donc de même de leur somme ; donc la limite de a b est A B.

04 - La limite i la quotient de deux quantités variables est égale au quotient de leurs limites.

On a en effet

a A A-f-a A B«c— Aj5

1>~ lT~B-f.j3 — fi"” B ( B -f- j3)’

Or, le numérateur de cette différence peut être rendu aussi

petit que l’on voudra, donc la limite de y est ^ .

0o. Los trois principes que nous venons d’établir sont presque évidents d’enx-incmes, car il n’est personne qui ne conçoive très-bien que si les quantités a et b peuvent s’approcher des quantités respectives A et B, d’aussi près que l’on vou-

dm , il en sera nécessairement de meme du quotient — , par

exemple, à l’égard du quotient

de sorte que le second est

la limite du premier. Aussi est-ce uniquement pour nous conformer à l'usage que nous avons rapporté 'les démonstrations précédentes.