NOTIONS RI.É.W ENTA 1RES

or ira ainsi un arc de cercle dont In plan aura pour trace horizontale la perpendiculaire o() à PQ , de sorte que sa projection horizontale se trouvera sur celte droite. Mais, d’un autre côté, si l’on joint le point o au point b, la droite ainsi déterminée aura pour trace horizontale le point K, de sorte que ses projections seront B K et B' R' : donc le centre cherché aura pour projections O et O', et pour rayon bo.

Problème XXIII.

;» 7 . Circonscrire une sphère à un tétraèdre donné , ou, ce qui revient au meme, faire passer sa surface par quatre points donnés.

Fig. 35. Nous prendrons pour plan horizontal celui de l’une quelconque, ABC par exemple, des faces du tétraèdre, et soit ( S , S' ) le quatrième sommet. Le centre de la sphère demandée doit se trouver sur la verticale menée par le centre O du cercle qui passe par les trois points A, B, C. I)’un autre côté, si l’on joint le point (S, S') à l’un quelconque (B, B ) des trois autres sommets, la droite ainsi tracée sera une corde de la sphère, de sorte que le centre devra se trouver sur le plan élevé perpendiculairement à la droite (BS, B'S ) par son milieu, et, par conséquent, on obtiendra ce centre en cherchant l’intersection de ce plan avec la verticale tirée par le point O ; mais comme cette construction serait assez compliquée, on observera que si l’on joint lc’point (S, S')aupoint(D,'D'), où la circonférence ABC est coupée par le plan mené par le premier de ces points parallèlement au plan vertical de projection , cette droite sera aussi une corde de la sphère, mais parallèle au plan vertical de projection ; donc le plan perpendiculaire sur son milieu, sera perpendiculaire à celui-ci, de sorte que sa trace verticale sera la perpendiculaire O'E' élevée sur le milieu de S'D'. Donc le centre de notre sphère est le point (O, O'). Quant à son rayon, nous l’obtiendrons en prenant GF

('■gai au rayon du cercle AUC, et en joignant O' F, car il a pour projections U B et O' B'.

Problème XXIV.

i)8. Inscrire une sphère clans un tétraèdre.

Prenons encore pour plan horizontal celui de l’une quelconque, ABC par exemple, des faces de ce tétraèdre, Fig. 36. et soit (S, S') le quatrième sommet ; nous savons que le centre de la sphère demandée doit se trouver à l’intersection des plans bissecteurs des trois angles dièdres AB, BC et AC (G. , SOI», 2°), de sorte que ce centre est le sommet du tétraèdre déterminé par ces trois plans et par le triangle ABC. Il s’agit donc de trouver ce sommet, et pour cela de déterminer les directions des trois arêtes qui y aboutissent.

Pour y parvenir, à l’aide de trois plans verticaux conduits par le sommet (S, S') perpendiculairement aux trois arêtes AB, BC et AC, je construis les angles S' D'j, S'E'j, S' F' s, correspondants aux trois augles dièdres AB, BC et AC; puis je partage ces angles chacun en deux parties égales par les droites DW', EV,Fy'; les angles que ces dernières droites formeront avec LT seront égaux à ceux que formeraient, avec la base ABC, les faces de la pyramide dont nous cherchons le sommet, de sorte que si , par les points I), E et F, on menait dans les plans verticaux SD, SE et SF des droites qui fissent, avec les traces horizontales de ces plans, des angles respectivement égaux à t?Ds, e'E s, /'l''s, ces droites seraient tracées dans les faces de cette pyramide. Par conséquent, en construisant les projections horizontales des points où ces mêmes droites sont coupées par un plan horizontal quelconque L'T', on aura trois points de la section faite par ce plan dans notre pyramide inconnue, section dont les côtés sont parallèles à ceux de la base ABC. Or, la trace verticale de ce plan coupe les droites D'd', EV, F J' respectivement aux points d' , e' et f, desquels j’abaisse sur LT

les perpendiculaire d" d, e e, f'f ; je porte ensuite les trois distances DV, E'e, Vf sur les droites respectives DS, ES, FS, et les points i, e et çp, ainsi déterminés, sont les trois points dont il s’agit. Je mène donc par ces points des parallèles aux côtés respectifs AB, B C et AC de la base et je forme ainsi la projection horizontale abc de l’intersection du tétraèdre cherché par le plan horizontal L'T', de sorte que les arêtes de ce tétraèdre auront, pour projections horizontales, les droites Ka, B b et Ce; donc leur point de concours O sera la projection de son sommet, c’est-à-dire du centre de la sphère demandée.

Pour en avoir la projection verticale O', nous projetterons le point a en a ■ sur L' T', et, en joignant A V, nous aurons la projection vert : cale de l’arrête qui aboutit au point A , de sorte qn’en abaissant de O une perpendiculaire sur la ligne de terre, nous obtiendrons le point O', et les cercles décrits des points O et O' avec le rayon O'R' seront les deux projections de la surface sphérique.

Problème XXV.

39. Construire les points d’intersection d’une droite avec une surface conique données.

Menons un plan par la droite donnée et par le centre de la surface conique, et il est clair que les points demandés appartiendront aux génératrices suivant lesquelles ce plan coupera la surface; or, les pieds de ces génératrices seront les points où la trace horizontale de notre plan rencontre celle de la surface; donc elles seront déterminées et la question sera remenéc à construire leurs points d’intersection avec la droite donnée.

Problème XXVI.

60. Construire les points d’ intersection d’une droite avec la surface d’une sphère données.

Le plan qui projette notre droite horizontalement

DR GÉOMÉTRIE DBSCRTPTIVE. 427

coupe la splière suivant un petit cercle dont les points d’intersection avec cette droite sont ceux mêmes que l’on cherche. Soient donc (0,0') le centre de la Fig. 37. -sphère et (AB, A' B) la droite donnés. Le diamètre du petit cercle dont il s’agit sera évidemment la corde CD que AB laisse dans le cercle O CD. Si donc on rabat le plan vertical AB sur le plan horizontal , le centre de ce petit cercle viendra se placer sur la perpendiculaire OE à une distance de E égale à O' F, car il est le pied de la perpendiculaire abaissée de((), O') sur le vertical AB : donc il sera facile de tracer le rabattement de ce cercle. On obtiendra de même celui AH de la droite donnée, en construisant les rabattements de deux de ses points. De sorte que m et n sont les rabattements des deux points demandés. On ramènera donc le plan auxiliaire «à sa position primitive, et on déterminera ainsi leurs projections horizontales M et N, et par suite leurs projections verticales M' et N'.

On pourrait prendre pour plan auxiliaire celui qui serait conduit par la droite donnée et par le centre de la sphère, puis construire les rabattements sur le plan horizontal du grand cercle suivant lequel il coupe la sphère et de la droite donnée, ce qui fera connaître les rabattements des points demandés; de sorte qu’en ramenant le plan auxiliaire à sa position primitive, il sera facile d’obtenir les projections de ces points.

Cette construction est moins simple que la précédente, mais nous engageons cependant les élèves à l’exécuter, parce qu’elle offre une nouvelle application de la méthode des rabattements.

61. Probi î mks a résoudre. 1° Trouver sur une droite donnée un point tel que sa distance à un autre point de cette, droite soit égale a une droite donnée ni (14). . .

2" Par un point donné , mener un plan parallèle a deux droites données (14 et m

3° Par un point donné, mener une droite qui n nco titre deux droites données. Par le point donné ot chacune des deux droites, conduisez des plans, et leur intersection résoudra le problème.

4" Puj- un point donne sur le plan vertical, mener une droite qui fasse des angles « et fi avec les plans de projection. 1

5° On donne la projection horizontale d'un point et sa distance à un plan connu , déterminer la projection verticale de ce point. — Si, par le point cherché, on mène un plan vertical perpendiculaire au plan donné, le pied de la perpendiculaire, dont la longueur est connue, se trouvera sur l’intersection de ces deux plans.

6° Trouver sur une droite donnée un point dont la distance à un point donné, soit égale à une droite donnée (54 ).

7° Construire un plan qui ait pour trace horizontale une droite donnée et qui fasse avec le plan vertical un angle donné. — Discussion.

8° Mener un plan qui fasse, avec les plans de projection des angles donnes a et fi. — La solution de ce problème est fondée sur ce principe, que les perpendi- Fig. 20. culaires abaissées du point U sur les hypoténuses des triangles rectangles O A'A" et OB'A” sont égales, car elles ne sont que les rabattements de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan PQR'.

9 Évaluer le volume d un tétraèdre , connaissant les projections de ses quatre sommets (14, 1 7 et 29).

1 0° Mener par une droite donnée AB (G. , fig. 219) un pion qui fasse un angle donné h avec un plan donne. RI N. — ]) un point quelconque pris sur la droite AB, abaissez une perpendiculaire AO sur le plan MIS, puis du pied de cette perpendiculaire, comme centre, décrivez une circonférence dont le rayon soit égal au côté adjacent à l’angle /, dans un triangle rectangle AOC dont l’autre côté de l’angle droit sc-

rait égal à celle perpendiculaire. La langcnle menée à ce cercle par le point B, où son plan est percé par la droite donnée, achèvera de déterminer le plan demandé. Cette construction s’exécutera par la méthode des rabattements. Elle se simplifiera beaucoup si le plan donné est l’un des plans de projection.

Numéros des articles.

Notions préliminaires page 1 .

Ce qu'on entend par corps en géométrie. — Surfaces , lignes , points. — Objet de la géométrie 1-5

On distingue trois sortes de lignes : droites , brisées et courbes. — Deux droites qui ont deux points com muns coïncident dans toute leur étendue.— Deux points

donnés déterminent la position d’une droite ......... 6-15

Définitions du plan et de la surface courbe. — Trois points qui ne sont pas situés en ligne droite , deux droites qui se coupent ou qui sont parallèles déterminent un plan. — Intersection de deux et de trois

plans 16-20, 426

Définition de la circonférence du cercle. — Son trace 21, 22