CHAPITRE PREMIER

DES TRIANGLES

Théorème I.'

14H. La somme des angles d'un triangle est égale h deux angles droits.

Fi". 61. Pour li 1 démontrer, je prolonge le côté BC, et je mène par le point C la droite CD, parallèle à AB. La somme des trois angles du triangle est égale à celle des trois angles formés autour du point C; car d'abord l’angle AC B est commun à toutes deux; l’angle A est égal à l’angle A CD comme alternes-internes, par rapport aux parallèles A B et CD et à la sécante AC; et l’angle Best égal à DGF, son correspondant par rapport aux mêmes parallèles et à la sécante B F. Mais la somme des trois angles formés autour du point C vaut deux droits : donc celle des trois angles du triangle ABC vaut aussi deux droits.

149. Coroli.a ire i. Chaque angle d'un triangle est le supplément de la somme des deux autres : ainsi quand deux angles d’un triangle sont respectivement égaux h deux angles d'un autre triangle , le troisième angle de l'un est égal au troisième angle de l’autre , et les deux triangles sont équiangfes entre eux.

150 Corollaire ii. L 'angle extérieur ACF d'un triangle ( on appelle ainsi celui qui est forme par un coté et le prolongement d'un autre ) est égal à la somme des deux intérieurs opposés A et B ; car cette somme des angles A et B a pour supplément l’angle A( B, qui est aussi le supplément de A CF (59).

151. Corollaire ni. Un triangle ne peut avoir qu’un seul angle droit , et ci plus Jorle raison qu'un seul angle obtus.

1 42 . Ce dernier corollaire conduit à une division

I)ES TRIANGLES. 69

des triangles en trois classes, d’après la nature de leurs angles. On nomme triangle rectangle celui qui a un angle droit , et on appelle hypoténuse le coté opposé h l’angle droit. Le triangle ABC est un triangle Fig. 62. rectangle dont BC est l’hypoténuse. Il est évident cjue dans un triangle, rectangle les deux angles aigus sont complémentaires.

155. On appelle triangle acutangle celui dont les trois angles sont aigus, et triangle oblusangle celui qui a un angle obtus. Tels sont ABC et DEF. Fig. 63.

154. On distingue aussi les triangles d’après les rapports qui existent entre leurs côtés. Ainsi on appelle triangle scalène celui dont les trois côtés sont inégaux; isocèle celui dont deux côtés sont égaux , et alors le troisième côté est dit la base du triangle, et le sommet de l’angle opposé à la base est le sommet du triangle.

Il suit du n° GO que la droite qui va du sommet d’un triangle isocèle au milieu de sa base est perpendiculaire à cette base. Cette droite se nomme la hauteur du triangle. On voit donc qu’nra triangle isocèle est déterminé lorsqu’on connaît sa base et sa hauteur.

Enfin on nomme triangle équilatéral celui qui a ses trois côtés égaux.

Théorème II.

155. De deux angles d’un triangle celui-là. est le plus grand qui est opposé h un plus grand côté ; et réciproquement t le plus grand de deux côtés est celui qui est opposé a un plus grand angle.

Supposons, en effet, que le côté AC soit plus grand Fig. 64. que AB. Il suit immédiatement de cette hypothèse que la perpendiculaire DE, élevée sur le milieu de CB, ira couper AC entre A et C, sans quoi le point A serait plus près de C que de B (58 ) : de sorte qu’en joignant EB, cette droite sera tracée dans l’angle ABC; mais nous avons vu , dans la démonstration du n° 55,

que les angles ECB et EBC sont superposables : donc l’angle ECB est plus petit que ABC.

Supposons actuellement que l’angle ABC soit plus grand que AC B. Si l’on élève encore une perpendiculaire sur le milieu de CB et que l’on joigne le point B avec le point E où elle rencontrera AC, l’angle EBC ainsi formé sera égal à AC B, et par conséquent la droite EB sera tracée dans l’angle ABC : donc le point E se trouve entre A et C; donc le point A est à droite de la perpendiculaire ED, donc AC est plus grand que AB.

186. Corollaire. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus grand des côtés, et dans un triangle obtusangle, le côté opposé à l’angle obtus est le plus grand (loi).

Théorème III.

187. Dans un triangle isocèle , les angles opposés aux côtés égaux sont égaux; et, réciproquement , si deux angles d'un triangle sont égaux, les côtés qui leur sont opposés seront égaux.

Faites usage du mode de démonstration employé au n° 98, eu vous appuyant sur le théorème du n° 188.

188. Corollaire. Un triangle équilatéral est aussi èquktngle, et réciproquement.

On voit encore que chaque angle d’un triangle équilatéral est les deux tiers d’un droit, de sorte qu’il a pour mesure un arc de 60°.

Théorème IV.

Fig. 65. 189. Deux triangles ABC, A'B'C' sont égaux

lorsqu’ils ont un angle égal B = B', compris entre deux côtés égaux chacun a chacun AB et A' B', BC et B'C'.

Portons en effet le triangle A'B'C' sur le triangle ABC en plaçant les points B' et C' respectivement sur les points B et C. Le côté B C' coïncidera ainsi avec son égal BC. Par conséquent, puisque l’augle B' est égal à l’angle B, le côté A'B' prendra la direction

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AB; et, comme ils sont égaux, le point A' tombera nécessairement sur le point A. Le côté A'C/ aura ainsi les mêmes extrémités que AC : donc ces deux côtés coïncideront; donc le triangle A'B'C' recouvrira exactement le triangle ABC ; donc il lui ost égal.

160. Corollaire. Nous appellerons angles homologues deux angles qui sont opposés à des côtés égaux, et cotés homologues ceux qui sont opposés à des angles égaux. Cela posé, il suit de la superposition des deux triangles ABC et A'B'C* que les angles B et C sont respectivement égaux à leurs homologues B' et C', et que le côté BC est égal à son homologue B'C': donc, quand deux triangles seront égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun a chacun , on devra en conclure que leurs punies homologues sont égales.

Théorème V.

164. Deux triangles ABC, A'B'C' sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal AB = A'B', adjacent a deux angles égaux chacun a chacun A et A', B

et B'.

Portons le triangle A'B'C' sur le triangle ABC, en mettant les points A' et B' respectivement sur les points A et B. Le côté A'B' coïncidera ainsi avec son égal AB. Par conséquent, puisque l’angle B' est égal à l’angle B, le côté C'B' prendra la direction CB, et le point C' se trouvera ainsi sur quelque point de la droite indéfinie BC. De même, puisque l’angle A' est égal à l’angle A, le côté A'C' prendra la direction AC, et le point C' ira encore tomber sur quelque point de la droite AC : donc ce point C', devant se trouver h la fois sur les deux droites BC et AC, tombera nécessairement à leur point d’intersection C. Donc le triangle A'B'C' recouvrira exactement le triangle ABC; donc il lui est égal.