CHAPITRE PREMIER

Théorème I.

Fig. 96. 21 5. Trois parallèles A R, CD et EF coupent deux

droites quelconques AE et B F en parties proportionnelles, c’cst-à-dire qu’on aura la proportion AC : CE:: BD : DF.

Nous distinguerons deux cas, selon que les droites AC et CE seront cominensurables ou qu’elles ne le seront pas.

1° Supposons (pie AC et CE soient commcnsurables et que leur commune mesure soit contenue 8 fois dans AC et 3 fois dans CE : le rapport de ces deux droites sera Si , par tous les points de division de AIi , on tire des parallèles à EF, je dis qu’on partagera ainsi B F en onze parties égales, de sorte que BD en contenant huit et DF trois, le rapport de BD à DF sera aussi En effet, si par tous les points de division de BF on mène des parallèles à AE, on formera une suite de triangles BGI, IK.L, LMN, NOP,.... qui seront tous égaux (161), car les cotés BG, IK, LM, NO.... sont égaux aux parties de AE (17 *5) , et par conséquent égaux entre eux; les angles B, I, L, N.... sont correspondants, et les angles G, K, M, O.... ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens; donc ces triangles sont tous égaux; donc BI = IL = LN

= NP.... ; donc enfin le rapport de BD à DF est |, et par conséquent