AB : AC::AD; AF::DB;FC

de plus , les angles B, K, D, seront égaux comme correspondants, et les angles M, N, O, le seront aussi connue ayant les côtés parallèles et dirigés dans le même sens : donc les triangles BMK,KNL, DO K sont égaux (161 ); donc leurs côtés homologues BK, KL, DF, sont égaux (102). Ainsi BD=2DF+LD.

On voit donc que la droite BI) contient D F autant de fois que AC contient KO, et que le reste LD (LD est plus petite que DF, sans quoi GC serait ou égale à CE, ou plus grande que cette droite) correspond au reste GC. Par conséquent , si l’on porte à son tour GC sur CE, et que , par les points de division on mène des parallèles à A B, ou verra de même que F D contiendra LD autant de fois que CE contiendra GC,ct que la partie restante de la première correspondra à la partie restante de la seconde, et aiusi de suite , si l’on contiuue d’effectuer sur les droites AC et CE et sur BD et DF les opérations nécessaires pour trouver la commune mesure des deux premières lignes et celle des deux autres. Les deux séries de quotients que l’on obtiendra ainsi seront donc les mêmes. Par conséquent si l’on développe en fraction continue le rapport des deux droites A Cet CE, et celui des deux droites BD et DF, on trouvera la même expression (30); donc ces deux rappoits sont égaux, donc on a la proportion

ce qu’il fallait démontrer.