AC: AF :: BC : DF

Donc, à cause du rapport commun AC : AF , on aura AB : AD :: AC: AF BC : DF, ou, en remplaçant les lignes AD, AF et DF par leurs égales A B', A C' et B C :

AB : A'B' :: AC : A'C' :: BC : B'C', ce qu’il fallait démontrer.

224. Scholie. Observez que dès que l’on aura reconnu que deux triangles ont deux angles égaux chacun à chacun , on ‘ pourra en conclure que leurs côtés homologues sont proportionnels : car le troisième angle de l’un sera égal au troisième de l’autre (149).

Théorème V.

Fig. 102. 223. Les droites AC, AD , A E , qui parlent du

sommet d’un triangle ABF, divisent sa base et sa parallèle B'F' en parties proportionnelles , et sont aussi coupées par cette parallèle en parties proportionnelles.

En effet, les triangles ABC et AB'C', ACD et A CD', ADE et AD'E', A EF et AE'F' sont équiangles (69, 3") : donc leurs côtés homologues sont proportionnels (223); ainsi nous aurons entre ces côtés les quatre suites de rapports égaux