AE : AE' :: EF : E'F' :: AF : AF

Chaque suite étant ainsi liée avec celle qui vient après* par un rapport commun, on doit en conclure que tous les rapports qui les composent sont égaux , et qu'ai nsi

BC : B'C' :: CD : C D' :: DE : D E' EF : È'F', et que

AB : AB' :: AC : AC' :: AD : AD':: AE : AE' :: AF : AF' : cc qui prouve , i° que les droites B F et B'F' sont coupées en parties proportionnelles; 2° que la droite B F' coupe AB, AC, AD, AE et AF en parties proportionnelles.

Théorème VI.

Fig. 104. 226. Si deux angles B AC , B'A'C', ont leurs cotés

AB et A'B', AC et A C' parallèles, proportionnels , et dirigés dans le même, sens ou en sens contraires , les droites qui joindront les extrémités B et B , C et C' de leurs cotés homologues , iront concourir avec celle qui joint leurs sommets A et A'.

En effet, soit O le point de concours de B B' et de AA', je dis que les trois points O, C' et C sont sur une même ligne droite. Supposons, en effet, qu’il n’en soit pas ainsi, et soit C" le point où OC coupe A'C'; puisque

A'C' est parallèle à AC les triangles OAC et OA'G" sont èquiangles et par conséquent (223)

AC : A'C" :: OA : OA'; mais les triangles O AB et OA'B' donnent icment