AB : A'B' :: AC: A'C

Or, on a, par hypothèse,

AB : A'B' :: AC : A'C'; cette proportion et la précédente ont trois termes correspondants égaux ; donc leurs quatrièmes termes sont égaux, donc A'C"= A'C'; donc les trois points O, C' et C sont en ligne droite, ce qu’il fallait démontrer.

227. Scholie. Remarquons que cette démonstration est indépendante de la grandeur des angles égaux BAC et B'A'C', et qu’elle s’appliquerait au cas où les lignes brisées BAC et B AC' deviendraient deux droites parallèles.

D’où il suit que les diagonales d'un trapèze, ainsi que les directions des côtés non-parallèles , vont se croiser sur la droite qui joint les milieux des deux bases : car les droites AI et MC, IB et DM, sont pro- Fig. 68. portionnelles, parallèles et de sens contraires, et les droites AI et DM, BI et MC sont proportionnelles, parallèles et de mêmes sens.

Donc, si une droite glisse sur le plan d'un triangle parallèlement a sa base, et que, dans chacune de ses positions, on joigne avec les extrémités de la base les points ou elle coupc les deux autres côtés , le lieu des points de section de toutes les lignes de jonction sera la droite, qui va du sommet du triangle au milieu de sa base.

Théorème VII.

228. Deux sécantes OA et OB qui parlent d'un Fig. 10.V môme point O pris hors d’une circonférence , sont réciproquement proportionnelles h leurs parties ex-

térieures OC et OD, c’est-à-dire que l’on a la proportion