OA.OB :: OD : OC

dans laquelle les deux parties d’une corde forment les extrêmes ou les moyens.

En effet, si nous joignons AD et B C, nous formerons les deux triangles cquiangles AOD et BOC : car les angles en O sont opposés par le sommet, et les angles inscrits A et B s’appuient sur le même arcDC; donc leurs côtes homologues sont proportionnels; ainsi OA:OB:: OD : OC, ce qui démontre notre proposition.

231. Scholie. Si , dans les proportions fournies par les théorèmes des n OT 228, 229 et 230, on égale le produit des moyens à celui des extrêmes, on trouvera OA. OC = OB. OD = OT*; d’où l’on voit que ces trois théorèmes sont compris dans le suivant:

Théorème IX.

Si d’un point quelconque, on mène arbitrairement une sécante h une circonférence , le produit des distances de ce point aux deux points d’ intersection est constant.

232. On appelle projection d'une droite AB Jwrpjg. io7. une autre XY, la portion A' B' de cette seconde comprise entre les perpendiculaires abaissées sur elle des

deux extrémités de la première. D’où l’on voit que dans un triangle rectangle chaque côté de l’angle

T, nous formerons les deux triangles équiangles AOT et COT: car ils ont l'angle commun O, et les angles O AT et CTO ont chacun pour mesure ia moitié de l’arc CT: donc leurs côtés homologues sont proportionnels; ainsi

oa:ot::ot :oc.

droit est ia projection de l’hypoténuse sur sa direction.

Théorème X.

Fig. 108. 233. Si du sommet A de l’angle droit d’un trian-

gle rectangle ABC on abaisse une perpendiculaire A I sur l’hypoténuse,

\ ° Cette perpendiculaire partagera le triangle en deux autres qui lui seront équiangles , et qui le seront par conséquent entre eux.

2° Elle sera moyenne proportionnelle entre les deux segments BI et IC de 1 hypoténuse.

3° Chaque côté de l’angle droit sera moyen proportionnel entre l’hypoténuse et sa projection sur celte hypoténuse.

4° Le carré de la longueur (26) de l’hypoténuse sera tirai à la somme des carrés des longueurs des deux autres cotes. (Cette proposition est connue en géométrie sous le nom de théorème de Pythagore, du nom du philosophe qui l’a découverte.)

5° Les carrés des longueurs des trois cotés seront proportionnels aux longueurs des projections de ces cotés sur l’hypoténuse.

En effet, 1° les triangles ABI et ABC sont équiangles : car ils sont rectangles l’un en I, l’autre en A; l’angle B leur est commun : donc le troisième angle BAI du premier est égal au troisième angle C du second.

On démontrerait de la même manière que les triangles AIC et ABC sont équiangles, et que par conséquent les deux triangles AIB et AIC jouissent de la même propriété [on le ferait voir directement en observant que leurs angles aigus ont leurs çôtés perpendiculaires (74) ].

2° Les triangles AIB et AIC étant équiangles, leurs côtés homologues BI et AI, AI et IC, sont proportionnels : ainsi on a la proportion 151 : Al :: AT : IC,

ce qui prouve que la perpendiculaire AI est moyenne proportionnelle entre les deux segments BI et IC de l’hypoténuse.

3° Puisque les triangles A IB et ABC sont équiangles, leurs côtés homologues BI et AB, AB et BC, sont proportionnels : on a donc la proportion BI: AB :: AB : BC (1).

Les triangles AIC et ABC donnent de même, en comparant leurs côtés homologues,