Corollaire iii. Si des extrémités d’un même

diamètre on tire différentes cordes AC , A D , BF Fig. 109.

les carrés de ccs cordes seront proportionnels à leurs projections sur le diamètre. Il suit en effet du corollaire précédent que le carré d'une corde est égal au produit de la projection de celte corde par le diamètre : ainsi

ÂC 1 = AC' . AB,. . .ÂD= AD' . AB,...bF’ = BF' . AB ; d’ailleurs AB’ = AB. AB : donc (*)

(*) Ce théorème fournit une solution <!e ce problème d'algèbre : Partager un nombre donné en deux parties dont le produit soit maximum ? On peut concevoir en effet que l’on ait décrit une circonférence dont la longueur du diamètre soit exprimée par ce nombre ( 26 J : alors, si d’un point quelconque de cette circonférence on abaisse une perpendiculaire sur le diamètre , il suit du théorème en question que le produit des deux segments de ce diamètre sera égal au carré de cette perpendiculaire ; mais le maximum de cette droite est le rayon : donc le produit des deux segments sera maximum quand la perpendiculaire ira tomber au centre : car c’est alors seulement qu’elle sera égale au rayon. Donc, pour partager un nombre en deux parties dont le produit soit maximum , il faut te partager en deux parties égales.

ÂC‘:AC , .AB::lD*:AD'.AB::BF':BF'.AB::ÂB*:AB.AB;

d’où , en divisant tous les conséquents par le nombre AB,

ÂC’ : AC' :: ÂD’ : AD' :: BF*:BF' ::ÂB* : AB; ce qu’il fallait démontrer.

Théorème XI.

Fig. no. 258. Dans tout triangle , le carré d'un côté quelconque AB est égal h la somme des carrés des deux autres AC BC, augmentée ou diminuée du double pmduit de l’un de ces deux côtés BC, par la projection Cl de l’autre AC sur lui, selon que l'angle C opposé au premier côté AB est obtus ou aigu.

En effet, pour projeter le côté AC sur CB, nous abaisserons du point A une perpendiculaire AI sur CB, et cette perpendiculaire tombera à droite ou à gauche du point C, selon que l’angle C sera obtus ou aigu , sans quoi le triangle AIC aurait un angle obtus et un angle droit, ce qui est absurde. Cela posé, dans le triangle rectangle ABI nous avons (233, 4°) :

5b* =Tr + !?•

Mais BI =BCrt CI, suivant que l’angle C est obtus ou aigu ; or on démontre , dans tous les traités d’algèbre, que le carré de la somme ou de la différence de deux quantités est égal à la somme des carrés de ces quantités, augmentée ou diminuée de leur double produit : donc

BT = BC’ + CT =h2BC.CI.

Substituant cette valeur de Bl* dans celle de AB’, il viendra

ÂB’ =ÂT’ + BC* + CF=fc2BC.CI.

Mais AI et CI sont les deux côtés de l’angle droit du triangle rectangle ACI : donc la somme de leurs

carrés fait AC'; remplaçant donc, dans l’égalité précédente, A l 1 + Cl 1 par AC 1 , ou aura enfin ÂB' = ÂC’ + BC’ ±2BC.CI, ce qui démontre le théorème énoncé : car le signe supérieur se rapporte, comme nous l’avons observé, au cas où l’angle C est obtus , et le signe inférieur à celui où il est aigu.

Remarquons que, dans la figure 111 , RI est égal Fig. 111. à CI — B C , et non pas à B C — CI; mais son carré n’en est pas moins CI*+ BC 1 — 2CI.BC.

259. Corollaire. I.c théorème précédent montre que le carré d'un côté quelconque iC un triangle est plus grand ou plus petit que la somme des carrés des deux autres, selon que l'angle qui lui est opposé est obtus ou aigu. Il suit de là, et en appliquant le principe du n° 93, que,

1° Si le carré du plus grand côté, d’un triangle surpasse la somme des carrés des deux autres , l’angle opposé sera obtus;

2° Si le carré du plus grand côté d'un triangle est moindre que la somme des carrés des deux autres, l’angle opposé sera aigu , et ainsi le triangle sera acutangle (li»o).

Exemple. Les trois côtés d’un triangle valent respectivement 5 m , 7 m et 8‘" : de quelle espèce est ce triangle? Le carré de 5 est 25; celui de 7 est 49, leur somme 74 est plus grande que 64, qui est le carré du troisième côté : donc le triangle est acutangle.

3° Si le carré du plus grand côté est égal a la somme des carrés des deux autres , l'angle opposé sera droit, et le triangle sera rectangle. Ainsi le triangle dont les trois côtés contiendraient respectivement 3, 4 et 5 fois l’unitc linéaire, serait rectangle.

Théorème XII.

240. Dans tout triangle, ABC , la somme des carrés F'g- 1 12. de deux côtés AB et AC est égale au double du carré

de la moitié du troisième, plus le double du carré de la d/vile qui joint le milieu de ce coté au sommet opposé A.

Abaissons, en effet, du sommet A la perpendiculaire AI sur le côté opposé BC, ce qui déterminera les projections BI et IC des deux autres côtés AB et AC sur cette base. Alors, d’après le théorème du n° 258, les triangles BD A et CD A nous donneront respectivement :