AB^AD' + BD’— 2 B D . D I

ÂC*= ÂD' + CD’ + 2 C D . D I .

Mais CD = BD: ainsi, en ajoutant ces deux égalités membre à membre, nous aurons :

ÂB a + ÂC* = 2 ÂD* + 2 ÏÏD a , ce qui démontre notre théorème.

* 241. Corollaire. Si l’on fait mouvoir le point A de manière que la somme des carrés de ses distances aux points B et C reste constante, sa distance au milieu D de BC restera constante. Donc le lieu géométrique de tous les points qui sont tels que la somme des carrés de leurs distances h deux points donnés B et C est égale à tn* est une circonférence dont le centre est le milieu D de BC et dont le rayon est égal

ii ^ — BD*. Pour construire ce lieu, on prendra

Fig. 113. sur BC une longueur B M = m ; on élèvera au point M une perpendiculaire MN = m, puis on coupera la perpendiculaire élevée en C par un arc décrit du point B comme centre, avec B N pour rayon, et en tirant enfin, par le point D, une perpendiculaire à AB jusqu’à la rencontre de BP, on aura le rayon de la circonférence cherchée. On voit, en effet, que BP* ou BN‘ = 2/«* (254,4°), par suite C P’ =2 m % — B C*, d’où 4AD’= 2 m ' — 4BD*, car C P et BC sont les doubles respectifs de AD et de BD (225); donc enfin

AD=J/y — BD’.

Théorème XIII.

242. Dans tout triangle ABC, la différence des rjg 112 , carrés de deux côtés AB et AG est égale au double du troisième BC multiplié par la projection sur ce troisième côté de la droite , qui joint son milieu au sommet opposé A.

En effet, si on retranche membre à membre les deux équations