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112 leçons de fiÉOMÉrmn.

Théorème XIV.

244 . La somme des carrés des quatre cotés d’un Fig. 115. quadrilatère quelconque A R CD est égale a la somme des carrés de ses diagonales augmentée du carré du double de la droite 1 K , qui joint leurs milieux.

Joignons, en effet, le milieu I de l’une de ces diagonales avec les deux sommets opposés B et C. Les deux triangles ARD et ACD donneront respectivement:

TB’ + ÏÏÏ î*= 2B? + 2 A? ,

CD* + ÂC a = 2 CI 5 + 2 ÂT‘ :

donc, en additionnant ces deux égalités membre à membre, il viendra :

AB’ + BD* + CD’ + ÂC*=2BÏ* + 2CÏ* + 4ÂÏ\... (1).

Or, dans le triangle RIC, la droite 1 K va du sommet I au milieu du côté opposé RC; nous aurons donc :

B? -f C? = 2 ÎR 8 + 2 HiR* , et par conséquent

2BÎ* + 2C? = 4ÏK* + 4BR*; donc, en substituant dans l’égalité (1), il viendra:

ÂB* + RD* + CD* + ÂC*= 4 ÏR* + 4M* + 4Â1*.

Mais 41 K.’ est le carré de 2 IR; 4BR’ est celui de 2BK, c’est-à-dire de BG,et, par la même raison, 4A1*=AD* : nous aurons donc enfin :

Âî? + BD* + Cl5’ + ÂC*=: (2 1 R)’ + RC* + AD*, ce qu’il fallait démontrer.

24iî. Corollaire. Si le quadrilatère ABCD était un parallélogramme, scs diagonales se couperaient en deux parties égales, de sorte que la droite qui joindrait leurs milieux serait nulle. On voit donc que dans tout parallélogramme la somme des carrés des côtés est égale à celle des carrés des diagonales.

Théorème XV.

2/iG. Dans tout quadrilatère inscrit ABCD le ptv- Fig. 116 . du il des diagonales AC, BD, est égal à la somme des produits des cotés opposés AB et CD, AD et BC (’).

Je faisan point B l’angle ABI — CBD, et je forme ainsi les deux triangles équiangles ABI et CBD : car l’angle BAC est égal à BDC comme inscrit dans le même segment BADC; ainsi ils ont deux angles égaux chacun à chacun; donc leurs côtés homologues sont proportionnels : donc