AC : A'C' BC : B'C
donc puisque AF' = A'C', ces deux proportions ont trois termes correspondants égaux, et ainsi leurs qua-
trièmes termes DF et B' C' sont égaux. Il s’ensuit que le triangle A'B'C' est égal à ADF (166), et par conséquent équiangle avec le triangle ABC.
TiiéoHÈME II,
249 . Deux triangles sont semblables lorsqu’ils sont équianglcs entre eux.
En effet, nous avons prouvé (223) que deux pareils triangles avaient leurs côtés homologues proportionnels.
TuÉonhME III.
230 . Deux triangles sont semblables lorsque leurs cotes sont respectivement parallèles.
En effet, nous avons vu que deux angles dont les côtés sont parallèles, sont égaux ou supplémentaires (73); de sorte que si les triangles ne sont pas équiangles, il ne pourra se présenter que les trois cas suivants :
1° Les trois angles de l’un des triangles seront supplémentaires de ceux de l’autre; mais alors la somme de leurs six angles vaudra six droits, ce qui ne se peut (1 18).
2° Deux angles de l’un seront supplémentaires de deux angles de l’autre, le troisième étant égal de part et d’autre; mais alors la somme des six angles surpassera encore quatre droits, ce qui est absurde.
3° Un angle de l’un des triangles sera supplément d’un angle du second, les deux autres angles du premier étant respectivement égaux aux deux autres du second ; mais alors la somme des angles de l’un ne sera pas égale à celle des angles de l’autre, à moins que les deux angles supplémentaires ne soient droits, auquel cas les deux triangles seront équianglcs.
Donc les deux triangles sont équiangles, et partant semblables (249).
Théorème IV.
2151. Deux triangles sont semblables lorsque leurs côtés sont respectivement perpendiculaires.
La démonstration est la même que la précédente.
2152. Scholie. Remarquez avec soin que dans ces deux derniers cas de similitude de deux triangles, les côtés homologues sont ceux qui sont respectivement parallèles ou perpendiculaires : car deux pareils côtés sc trouvent précisément opposés à deux angles dont les côtés sont eux-mêmes parallèles ou perpendiculaires, c’est-à-dire à deux angles égaux.
Théorème V.
2155. Deux triangles ABC et A' B' G’ sont semblables lorsqu’ils ont un angle égal A = A' compris entre côtés proportionnels A B et AB’, AC et A'C'.
Prenons en effet AD = A'B', AF = A'C' et joignons DF. Le triangle ADF sera égal à A'B'C' (159) et semblable à A RC (24!)), puisque, la droite DF coupant les côtés AB et AC en parties proportionnelles sera parallèle à BC : donc A B C' est semblable à ABC.
2154. Ou appelle polygones semblables deux polygones qui sont composés d’un même nombre de triangles semblables , chacun a chacun , et semblablement disposés (').
(*) C’est-à-dire que les deux angles dont le sommet commun est à l’une des extrémités de la droite qui assemble deux triangles du premier polygone, sont homologues de ceux dont le sommet commun est à l’une des extrémités de la droite qui assemble les deux triangles semblables du second. Ainsi , pour construire sur la droite A'B', homologue de AB, une suite de Fig. 117. triangles semblables à ceux du polygone ABCDEFG, et semblablement placés, on fera sur cette droite un triangle semblable à ABL); puis sur B' U' un triangle semblable A BD C, avec cette condition, que l’angle C'B'U' soit égal à CBU, et que B'D'C' soit égal à BUC, et ainsi de suite (249).
Théorème VI.
288. Deux polygones semblables ont leurs angles égaux chacun à chacun et leurs cotés homologues proportionnels (les côtés homologues sont ceux qui sont adjacents à des angles égaux).
Soient les deux polygones semblables ABCDEFGFig. 117. . et A'B'C'D E’F'G', de sorte que les triangles ABD
et A' B D', BDCctB D'C , ADEet A' D E' sont
semblables et semblablement disposés. Les quatre angles dont le sommet est en A, sont donc égaux aux quatre angles qui ont leur sommet au point A' (248); donc l’angle A est égal à l’angle A'; par une raison semblable l’angle B est égal à l’angle B’, et ainsi de suite. Donc déjà les deux polygones sont équiangles entre eux.
En second lieu, la similitude des triangles ABD et
A'B'D', BDC et B'D'C', ADE et A'D'E',
donne (247)
