PQ : P'Q' :: DC : D'C' : : BC : B'C

Théorème X.

Fig. 119. 264. Deux polygones ABC D E et A'B'C'D'E' sont

semblables lorsqu’ en joignant les extrémités F et G, F' et G' de deux droites FG et F' G' avec tous les sommets de ces polygones , les triangles ainsi formés sont semblables chacun a chacun et semblablement placés.

En effet, on peut regarder leurs côtés AB et A' B', BC et B C , . . . . comme des droites homologues par rapport aux deux triangles semblables AFG et A' F' G'; donc déjà tous ces côtés sont proportionnels. On voit ensuite que les triangles ABF et A'B'F' étant semblables comme ayant un angle F = F' compris entre côtés proportionnels FA et F' A', FB et F' B' (255), l’angle FBA = F'B'A'. Par une raison semblable l’angle GBC = G'B'C', et comme l’angle FBC = F B'C',

il s’ensuit que l’angle total B= B'; on prouverait de même que tous les autres angles C et C', D et D , . . . . des deux polygones sont égaux, et qu’en conséquence les deux polygones sont semblables (2i»8).

Théorème XI.

26i». Les périmètres de deux polygones semblables sont proportionnels aux cotés homologues de. ces polygones.

En effet, ces deux polygones ont leurs côtes homologues proportionnels : donc on peut former avec ces côtés une suite de rapports égaux, dont les antécédents seront les côtés du premier, et les conséquents les côtés homologues du second ; donc on en déduira , d’après un principe connu d’arithmétique , que

La somme de tou§ les côtés du premier, ou son périmètre, esta la somme de tous les côtés du second, ou son périmètre, comme un côté du premier est au côté homologue du second.