CHAPITRE III

PROBLÈMES SLR LES LIGNES PROPORTIONNELLES ET SLR LES POLYGONES SEMBLABLES.

Problème I.

206. Partager une droite donnée AB en parties Fig. 120. proportionnelles h des droites données p, q, r.

Menons par le point A une droite indéfinie A X,et prenons sur cette droite des parties AP, PQ, QR, respectivement égales aux lignes données^;, q, r. Il est clair maintenant que si nous joignons KB, et que par les points P et Q nous menions des parallèles à B B, ces droites diviseront AB proportionnellement aux lignes AP, PQ, QR (216), et par conséquent aux

lignes données p , q, r. Mais, au lieu de mener ces parallèles par l’un des procédés donnés au n° 151, nous emploierons le suivant, qui est susceptible d’un plus grand degré d’exactitude. Joignez RB, et coupez cette droite en R' par un arc décrit du point A comme centre, avec le rayon AR. Reportez ensuite les longueurs AP et AQ sur A R', et joignez PP' et QQ'. Ces droites seront parallèles à 11R (218) : car les points P et P', Q et Q', divisent respectivement A R et A R' en parties proportionnelles.

Fig. 121 . 267 . Corollaire. 11 suit de là que si les lignes p,

q, r , eussent été égales, la droite AB eût été partagée en parties égales. Ainsi , pour partager une droite donnée AB en cinq parties égales, par exemple, on mènera, par l’une de scs extrémités A , une droite indéfinie quelconque AX, sur laquelle on portera une ouverture arbitraire de compas autant de lois que l’on voudra avoir de parties dans AB. On joindra le dernier point de division avec le point B, et il ne s’agira plus que de mener par les autres points de division des parallèles à la ligne de jonction, ce qui s’exécutera parla méthode que nous venons d’indiquer. Nous observerons seulement de faire l'angle BAX peu différent de la moitié d’un droit, et de prendre l’ouverture de compas à peu près double des parties demandées de AB, parce qu’avec ces précautions les parallèles ne couperont pas AB trop obliquement, et les points qui doivent déterminer leur direction ne seront pas trop rapprochés.

Fig. 101. Q n peut encore employer la méthode suivante pour partager une droite donnée en parties égales. Portez sur une droite indéfinie BY autant de fois une même ouverture de compas que vous voulez de parties dans la droite donnée a; et sur B F construisez un triangle équilatéral B AF (213); vous prendrez AB' et AF' égaux à n, et vous joindrez B F'. Cette droite sera parallèle à B F (219) : car elle divise AB et AF en parties proportionnelles; de plus, elle sera égale à a, puis-

que les triangles ABF et A B' F', étant équiangles, ont leurs côtés homologues proportionnels (223). Mais le premier est équilatéral : donc le second lest aussi; donc IV F' = a; donc si l’on joint AC, Al) et AE, la droite a sera divisée en parties égales aux points C',

D' et E'.

Remarquons que les droites issues de A seront d’autant mieux déterminées que cc point sera plus éloigné de BY, c’est-à-dire que l’ouverture de compas que l’on a portée sur BY sera plus grande.

Remarquons encore que cette méthode a l’inconvénient d’effectuer Indivision sur une droite égale à a, et non sur cette ligne même. On pourrait, il est vrai, modifier la construction de manière à diviser immédiatement la droite a, mais aussi on serait exposé à des erreurs plus grandes; cependant, si l’on devait partager plusieurs droites données en un même nombre de parties égales ou proportionnelles à d’uutres droites données, c’est à la méthode du triangle équilatéral que l’on devrait avoir recours.

Problème II.

2G8. Trouver une quatrième proportionnelle a Fig. 122. trois droites données a, b, c, c’est-à-dire trouver une droite x , qui forme le quatrième terme d’une proportion dont les trois premiers seraient les lignes a , b , c, de sorte que l’on ait

a étant plus grand que c, on pourra regarder les deux termes a et b du premier rapport comme deux côtés d’un triangle , et les deux termes c et x du second comme deux de leurs parties correspondantes, déterminées par une parallèle au troisième côté de ce triangle. En conséquence, on tracera deux droites indéfinies O Y et OZ sous un angle quelconque, mais que, pour plus d’exactitude, dans les constructions, on ne fera

pas plus grand qu’un droit. On prendra sur ses côtés des parties OA = r/, et OB = b, puis sur le côté OA une seconde partie OC = c. Menant CX parallèle à AB, on obtiendra la quatrième proportionnelle demandée OX.

I-'ig. 1 23. On pourra encore regarder les antécédents a etc comme les deux parties d’un même côté, et alors les conséquents b et x seront les parties correspondantes de l’autre côté : ce qui conduira à la construction exécutée dans la figure 123, où BX est la ligne demandée.

269- Les théorèmes des n os 228 et 230 fournissent chacun une nouvelle solution du problème précédent. Veut-on s’appuyer sur la propriété des sécantes, on dira, en considérant la proportion a : b :: c : x :

c étant plus grand que b, celte droite est une sécante, et b sa partie extérieure, tandis que a et la ligne inconnue x sont l’autre sécante et sa partie extérieure.

Fig. 124. En conséquence, je prends, sur une droite OC = r, une partie O B égale à b ; je mène par le point O une droite quelconque OA— a; et la ligne OX, déterminée en faisant passer une circonférence par les trois points A, B, C, résoudra le problème.

Si l’on veut s’appuyer sur le théorème du n° 230, on remarquera que les deux moyens A et c de la proportion

sont les deux parties d’une corde, et les deux extrêmes a et x les deux parties de l’autre. On tirera donc deux droites qui se croisent en O; on prendra sur l'une O B = b et OC — c; et OA — a sur l’autre ; puis on fera passer une circonférence par les trois points A, B, C, et OX sera la quatrième proportionnelle.

270. Corollaire. Si les deux ligues a et b étaient égales, la ligne inconnue .r serait déterminée par la proportion

et alors on l’appellerait une troisième proportionnelle aux droites a et b. On obtiendra évidemment cette troisième proportionnelle par la construction donnée au u" 268.

27i.Les propositions démontrées aux n“* 256,

1 ° et 2°, et 229, fournissent d’autres moyens de trouver une troisième proportionnelle à deux lignes données a et b, moyens qui sont utiles dans un grand nombre de cas.

Nous cherchons une droite .r, telle que l’on ait a : b :: b : x :

ainsi b doit être une moyenne proportionnelle entre a et x. 11 suit de là, V qu’on peut regarder (229) b comme une tangente, et l’une des deux droites a et x comme une sécante dont la partie extérieure serait l’autre droite. En conséquence, on tirera sous un angle quelconque deux droites OA = a, OB = Æ, et l'on Fig. 125. décrira une circonférence qui louche OB en B, et qui passe par le point A (154) : OX sera la troisième proportionnelle demandée;

2’’ Que b peut être la perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle droit d’un triangle rectangle sur l’hypoténuse, et « et x seront les deux segments de cette hypoténuse. Ainsi l’on prendra sur une droite indéfinie une partie OA = a; on élèvera au point O Fig. 126. une perpendiculaire OB = b; on joindra AB, et l’on mènera BX perpendiculaire sur AB:OX résoudra le problème.

3 n Enfin on peut regarder b comme une corde dont x serait la projection sur le diamètre ci } si b, et dont ci serait, au contraire, la projection sur le diamètre x, si a < b.

Dans le premier cas, on décrira sur O A = a, comme Fig. 127. diamètre, une demi- circonférence; on mènera une corde Ob = b, et l’on abaissera de B la perpendiculaire BX sur le diamètre.

Dans le second cas, on élèvera à l’extrémité O d’une Fig. 125.

droite OÀ = <7 une perpendiculaire que l’on coupera par un arc décrit de A comme centre, avec b pour rayon; on joindra AB, et I on tirera BX perpendiculairement à cette droite. Dans les deux cas, OX résoudra le problème.

Problème III.

Fig. 128. 272. Par un point O donne sur le plan d’un an-

gle BAC, mener une sécante telle que les deux parties de cette droite comprises entre ce point et les cotés A B et ÂC de l’angle soient proportionnelles a deux lignes données p et q.

Supposons le problème résolu, et soit OC B la sécante demandée. On aura donc

OB:OC ::p:q.

Or, si l’on mène par le point O, OD parallèle à AC jusqua la rencontre de BA, prolongée s’il est nécessaire, on aura pareillement: