BD : AD BO: CO

Donc, à cause du rapport commun,

BD: AD Wp-.q.

Ainsi la ligne inconnue BD est une quatrième proportionnelle aux trois droites connues q, p et AD. On cherchera donc cette quatrième proportionnelle, en exécutant la construction indiquée sur la figure; et en faisant passer une sécante par son extrémité B et par le point O le problème sera résolu.

Problème IV.

27t>. Par un point A donné sur le plan de deux Idg. 120. droites B B et CC qu on ne peut prolonger , mener une d/vite qui aille concourir avec elles.

Tirez deux parallèles quelconques BC et B'C'; joignez AB et AC, puis inencz-leur des parallèles B'A' et C'A' par les points B’ et C'. La droite AA' résoudra le problème (225 et 226).

PROBLÈMES St!n LE LIVRE III.

Problème V.

274. Mener une tangente commune a deux circonfèrences données.

1 rc méthode. Ce problème admet évidemment quatre solutions; savoir : deux tangentes externes et deux tangentes internes. Supposons-le résolu, et soit AB une tangente externe. Joignons OA et O'B : ces droites Fig. 130. seront perpendiculaires sur cette tangente : donc, si l’on mène par le centre O' la parallèle O'C à AB, la partie AC ainsi déterminée sur le rayon AO sera égale à O'B (17«î), de sorte que OC sera égale à la différence des rayons des deux circonférences, mais O'C est perpendiculaire sur OA (6«5) : donc elle est tangente à la circonférence que l’on décrirait avec le rayon OC (84).

Décrivez donc une circonférence du point O comme centre avec un rayon OD égal à la différence de ceux des deux circonférences données; menez de O' deux tangentes à cette circonférence, et joignez le centre O avec les points de contact C et C'; menant enfin des tangentes aux points A et A', où ces droites OC et OC' vont couper la circonférence O, on aura les deux tangentes externes AB et A'B .

On verra de la même manière que, pour trouver les deux tangentes internes, il faudra décrire du centre O une circonférence avec la somme O G des rayons des deux circonférences données, et achever la construction comme précédemment.

Il est facile de voir que les deux tangentes externes vont se couper sur la droite qui joint les centres, et qu’il en est de même pour les deux tangentes internes.

27ii. 2” méthode. Il suit immédiatement du n° 220 que les sécantes qui, comme AA' ou AA", passent par Fig. 131. les extrémités de deux rayons parallèles et dirigés dans le même sens ou en sens contraires, vont concourir en un meme point C ou C' de la droite O O' qui joint leurs centres. Une tangente commune aux

tlcux circonférences O et O' va floue passer aussi par l’un ou l’autre de ces points. Ainsi, pour mener une tangente commune aux deux circonférences données, on tirera un rayon quelconque OA et un diamètre A O'A" parallèle à ce rayon : on joindra le point A avec chacun des points A et A" par des droites qui couperont O O' en G et en G’, et il ne s’agira plus que de mener de chacun de ces points des tangentes à l’une des deux circonférences données.

Remarquons que cette 2 e méthode deviendrait impraticable si les rayons des deux circonférences données étaient presque égaux, car alors le point G se trouverait très-éloigné de O'. On aurait alors recours à la première.

Problème VI.

276 . Trouver une moyenne proportionnelle entre deux droites données, a et b.

Nous pouvons, pour résoudre ce problème, nous appuyer sur les propositions démontrées aux n os 256 , 1 ° et 2°, et 220 . Si l’on veut employer la première, on observera que la droite demandée sera la perpendiculaire abaissée d’un des points de la circonférence sur le diamètre, et que a et b seront les deux segments de ce diamètre. En conséquence , on portera les deux Fig. 132. droites données a et b à la suite l’une de l’autre de A en O et de O en B; on décrira une demi-circonférence sur AB , comme diamètre, et l’on élèvera au point O la perpendiculaire OX sur AB. Cette droite OX résoudra le problème.

Veut-on s’appuyer sur la propriété de la corde ( 256 , 2°), on dira : La droite demandée sera la corde; la plus grande, a , des deux droites données, sera le diamètre; et l’aulre, b, sera la projection de cette corde sur ce diamètre. En conséquence, on prendra sur une droite indéfinie deux parties OA=</ et (JB '—b; sur OA , comme diamètre , on décrira une demi-circonférence, on élèvera au point B' une perpendiculaire

B'X' sur OA, et la corde OX' sera la moyenne proportionnelle demandée.

Enfin, si l’on veut faire usage de la propriété de la tangente (2211) , on dira : La droite demandée doit être la tangente, a la sécante, et b sa partie extérieure (on suppose a^>b). On prendra donc, sur une droite OA=r«, une partie OB=£; on fera passer une circonférence par les deux points A et B; et en menant la tangente OX à cette circonférence (13G , 2° et 139) , le problème sera résolu.

Problème VIT.

277. Partager une droite donnée AB en moyenne et extrême raison, c’est-à-dire en deux segments tels que l’un d’eux soit moyen proportionnel entre la droite donnée et l’autre segment. Le segment qui doit être moyen proportionnel est évidemment le plus grand.

Supposons que la droite AB soit divisée au point X en moyenne et extrême raison, et que AX soit le plus grand des deux segments; on aura donc :