Mesurer une (Imite donnée

Mesurer une ligne droite , c’est chercher le rapport de cette droite à une autre que l’on est convenu de prendre pour unité. Or si cette unité est contenue un nombre exact de fois dans la droite à mesurer, ce nombre est la mesure demandée; mais lorsqu’il n’en est pas ainsi, il faut chercher s’il n’y a pas une certaine longueur qui , étant contenue exactement dans l’unité linéaire et dans la droite donnée, soit par conséquent la commune mesure de toutes deux. Si l’on trouve, par exemple, que la droite donnée et l’unité linéaire contiennent respectivement 1 5 fois et 7 fois une même longueur, on en conclura que cette longueur est le septième, de l’unité linéaire, et qu’ainsi la droite à mesurer vaut quinze fois le septième de cette unité, c’està-dire qu’elle en est les Donc la mesure demandée est exprimée par une fraction dont les deux termes sont les nombres de mesures communes contenues dans les deux (Imites que l'on a comparées. Quoique cette fraction ne soit pas assignable numériquement, lorsque la droite proposée est incommensurable avec l’unité, elle n’en existe pas moins, et nous verrons, dans un instant, que l’on peut, sinon l’obtenir

p) Dans les cinq premiers Livres «le ect ouvrage, nous supposerons toutes les ligures tracées sur un même plan.

exactement, du moins en approcher d’aussi près que l’on veut.

24. La détermination de la mesure d’une droite est Fig. 6. 'donc ramenée à la solution de ce problème : Deux droites A B et CD étant données, trouver leur commune mesure si elles en ont une.

Si l’on raisonne sur les deux droites données comme on l’a fait dans l'arithmétique, quand il s’est agi de trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, on sera conduit à porter la plus petite CD sur la plus grande AB, autant de fois que la chose sera possible, et l’on trouvera qu’elle y est contenue deux fois de A en F avec un reste F B; de sorte que

AB — 2CD + FB [1],

ce qui montre que CD n’est pas la commune mesure demandée. Mais on verra encore, comme dans l’arithmétique , que la plus grande commune mesure des droites A B et CD est la même que celle de CD et de FB.

Je porte donc FB sur CD, et je trouve qu’elle y est contenue trois fois dcC en G, avec un reste GD : donc

CD = 3FB + GD [2].

Je porte maintenant GD sur FB : elle y est comprise une fois, avec un reste I B : donc

FB = GD + IB [3].

Enfin, en portant IB sur GD,on trouvera quelle y est contenue trois fois exactement, et qu’ainsi