GD = 3 IB

IB est donc la plus grande commune mesure des droites AB et CD.

Concluons de là que, pour trouver la plus grande commune mesure de deux droites , il faut leur appliquer la méthode donnée en arithmétique pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres.

En conséquence on est convenu d’appeler quotient incomplet le nombre entier qui indique combien de fois un reste quelconque est contenu dans le précédent.

23. Maintenant que nous connaissons la commune mesure des droites AB et CD, il faut, pour évaluer leur rapport , déterminer combien de fois chacune d’elles contient IB. Or l’équation [3] nous montre que, comme GD = 3IB, FB vaudra 31B + IB = 4IB. En remontant de même aux équations [2] et [1] , on trouvera d’abord que CD vaut d’une part trois fois 41 B ou 12 IB, et de l’autre 3IB, ce qui fait 151 B; ensuite que AB contient deux fois 1 5 1 B ou 30IB, et encore 4IB, c’est-à-dire 34IB. Donc, puisque la commune mesure I B est contenue trente-quatre fois dans AB et quinze fois dans CD, on en conclut que le rapport de ces deux droites est et que par conséquent, si CD est l'unité linéaire, cette fraction est la mesure ou la longueur de AB.

26. Nous appellemns désormais longuedr d’une ligne le rapport de cette ligne h l'unité linéaire.

27. Remarquons que cette fraction j-fc est nécessairement irréductible, sans quoi I B ne serait pas la plus grande commune mesure des droites AB et CD. On voit en effet que si l’on avait trouvé, par exemple, AB = 35IB, auquel cas le rapport de AB à CD serait |A, fraction dont les deux termes sont divisibles par 5, ces deux droites auraient 5 IB pour commune mesure : car alors AB et CD vaudraient respectivement 7 fois et 3 fois 5 IB.

28. Lorsque deux droites A et B sont commensurables, l’opération du n* 24 se termine nécessairement : car si p et q indiquent combien de fois elles contiennentccttccommune mesure K, on a A=yDRetB = çK, de sorte que l’opération dont il s’agit ne diffère pas de celle qu’il faudrait exécuter sur les nombres^ et q pour déterminer leur plus grand commun diviseur, et celle-ci n’exige qu’un nombre fini de divisions.

29. Si au contraire les droites A et B sont incommensurables, l’opération ne peut pas se terminer (’) : car

(*) Observons qu’il n’en sera jamais ainsi dans la pratique :

si l’on pouvait trouver un reste qui fût contenu exactement dans le précédent, ce reste serait une commune mesure des droites A et B.

Quelle idée faut-il alors se faire du rapport de ces droites? Supposons qu’en négligeant un reste quelconque on regarde le précédent, que je désignerai par K, comme la commune mesure des deux droites A et B, et admettons que ces droites contiennent p fois et q fois la droite K avec des restes respectifs « et (3 moindres que K. On aura A — x=p K et B — (3 = ^K : donc le

rapport - — ^ est égal à ~ . Or a et (3 sont deux quan-

tités variables qui sont d’autant plus petites que le reste K, auquel on s’est arrêté, est lui-même plus petit, et qui ont par conséquent zéro pour (arith. 209) li-

A i fx.

mite^'); donc le rapport — tend vers une certaine

limite, et comme ses deux termes convergent respectivement vers A et B , cette limite est ce qu’on appelle le rapport de A à B. Donc le rapport de dedx grandeurs jncommensur Arles csi la limite vers laquelle tendent les rapports successifs que l’on obtient , lorsqu’on remplace ces grandeurs par des quantités commensurables qui en approchent indéfiniment (’).

car on arrivera bientôt à «n reste qui échappera aux sens par sa petitesse.

(•) On ne saurait douter que les quantités a et /S n’aient zéro pour limite : car, si l’on considère trois restes consécutifs quelconques R, R', R", on a R'> R". Mais R vaut au moins R' -f- R" : donc il est plus grand que a R"; donc un reste quelconque est moindre que la moitié du reste antéprécédent ; donc le 2°,

le 4% le 6 e restes sont respectivement plus petits que -j,

a, i de la plus petite droite B , donc après un nombre

suffisant d’opérations on arrivera à un reste K moindre que toute droite donnée (arith. 303). Mais * et fi sont plus petites que K : donc ces quantités ont bien zéro pour limite.

(*) On peut arriver d’une manière plus directe, mais moins naturelle, à l’idée que l’on doit se former du rapport de deux grandeurs incommensurables A et B. Supposons , en effet ,

Ainsi, quand les droites A et B seront commensurables, on calculera exactement leur rapport, niais quand elles seront incommensurables, on ne pourra l’obtenir qu’avec approximation; cette approximation sera d’ailleurs aussi grande que l’on voudra, puisqu’il s’agira pour cela de s’arrêter à un reste suffisamment petit.

*30. Désignons par q,q',q" les (juotients, et

par 11, R', R".... les restes successifs quel on a trouves en cherchant la commune mesure des droites A et B, on aura d’abord:

d’où l’on voit que le rapport sera la somme des rap-

ports ^ et —, c’est-à-dire qu’il est égal au quotient q B B

augmenté du rapport— ; mais ce dernier est égal à l’unité divisée par ce rapport renversé, c’est-à-dire par le rapport-^-: donc

Ün aura ensuite les égalités

R = q' R' + R", etc.

qu’ayant partagé l'une de ces grandeurs, B, par exemple, en un certain nombre q de parties égaies, on clierclie combien de fois A contient une de ces parties; on trouvera pour quotient un certain nombre/» et un reste « plus petit que ectte même partie

de B, de sorte que le rapport de (A—*) à B sera égal à — ; Icrap-

port — variera avec le nombre des divisions de B , et a tendra

vers zéro, à mesure que ce nombre deviendra plus grand; donc

la limite de (A — a) est A, et le rapport — tend vers une

certaine limite, qui est ce qu’on appelle le rapport des deux quantité-s incommensurables A et B ; donc lf. rapport df. deux ciiaxdei'bs ixcommf.nsuradi.es, etc.

desquelles on tirera , comme tout à l’heure ,

B V + T pi*

ÏÏ—9 + iv

etc.

Substituant, dans [1], à— sa valeur [2]; puis, dans

l’expression résultante, à sa valeur [3] , et ainsi de

suite, on trouvera en définitive :

-p etc.

Une pareille expression sc nomme une fraction continue ; de sorte qu’uNE fraction continue est une expression composée d’un nombre entier, qui peut être nul, augmenté d’une fraction qui a pour numérateur l’unité, et pour dénominateur un nombre entier, augmenté d’une fraction qui a pour numérateur l’unité, et pour dénominateur un nombre entier augmenté, etc.

On voit donc que, pour développer le rapport de deux quantités quelconques en fraction continue , il faut exécuter les opérations nécessaires pour obtenir leur plus grande commune mesure , et ajouter ensuite au premier quotient incomplet une fraction ayant pour numérateur l’ unité , et pour dénomiualeur le second quotient incomplet , augmenté d'une fraction ayant pour numérateur l’unité , et pour dénominateur le tmisi'eme quotient incomplet , augmenté , etc.

Il suit de là que le développement d'une quantité commensurable en fraction continue se termine nécessairement. Ainsi, dans l’exemple du n° ‘24, le rapport des deux droites AB et CD a pour expression la fraction continue :

La frac! ion ordinaire équivalente il une portion de lajraction continue totale prise h partir de l’origine de cette fraction, a reçu le nom de réduite ou de FRACTION CONVERGENTE.

Soit la fraction continue

» fi

et proposons-nous de former scs diverses réduites. La première est 2 ; la seconde est la valeur de 2 + y = |. La troisième est la valeur de2-hg j p.Or3-l-5; = fp,

donc s j = rj = "nr , et P ar conséquent notre réduite

est égale à 2 + ïT=f§-

La quatrième réduite est la valeur même de la fraction continue totale. Or 4 -f | = ^p - , donc -’ , 1 = 2*7; = ^;

• 0 if"

par suite 3 + J , ^ = 3 -f* = ^4 > donc