Construire une échelle

Une échelle est une ligne droite divisée en parties égales, et l’une de ces parties est ensuite divisée aussi en un certain nombre de parties égales.

Les échelles sont nécessaires pour représenter sur le papier, et dans leur juste proportion, des distances plus grandes que les dimensions de la feuille de papier. Le géographe, l’architecte , le constructeur de machines, placent toujours au bas de leurs dessins une échelle de parties égales qui sert de commune mesure à toutes les distances du pays, à toutes les parties du bâtiment ou de la machine qu’ils y ont représentées.

Dans les cartes de géographie, l’échelle représente ordinairement des myriamètres ou des kilomètres; des décamètres subdivisés en mètres dans les plans topographiques; et .enfin des mètres subdivisés en décimè-

très, en centimètres, et même en millimètres, dans le dessin linéaire.

Dans les plans du cadastre on représente une distance de 2,500 mètres par une ligne d’un mètre ; de sorte que 100 m le sont par une ligue de^ = 0 ra ,04: ainsi il faut diviser en cent parties égales une ligne de 4 centimètres pour pouvoir représenter des mètres. On sent combien le procédé que nous avons indiqué (207) serait fécond en erreurs dans le cas actuel , et d’ailleurs les points de division seraient tellement rapprochés qu’il serait difficile de les distinguer. On a heureusement imaginé un procédé connu sous le nom de méthode des transversales , qui est aussi simple qu’exact. Nous allons l’appliquer à la construction d’une échelle de 500 m à s - 7 umû dont pl us petite division exprimera ainsi un mètre.

Cent mètres étant représentés par une longueur de Fig. 139; 4 centimètres, l’échelle de 500" 1 aura deux décimètres.

On divisera donc une droite AB ayant cette lougueur en cinq parties égales. On élèvera à ses deux extrémités deux perpendiculaires indéfinies AC et BD, sur chacune desquelles on portera dix fois une même ouverture de compas. On joindra les points correspondants de ces perpendiculaires deux à deux, et l’on reportera sur CD les divisions de AB, en numérotant ces divisions 0, 100, 200, 300 et 400, et 1 , 2, 3,

4 9, celles de la droite FE. Cela fait, on tire AE;

et il est facile de voir, en comparant des triangles équiangles dont le sommet commun est en A , que la partie de chaque parallèle comprise entre la transversale A E et la droite AC vaut autant de dixièmes de EC qu’il est marqué par celui des numéros de EF qui répond à cette parallèle (') : de sorte qu’en reportant sur AF et sur CE toutes ces parties de parallèles,

(') Par exemple, les triangles ECA et AKI donnent la proportion^ C; A K : : E C : K I ; mais A K est les six dixièmes de A C : donc K I est aussi les six dixièmes de E C.

ccs tleux droites seront divisées en dix parties égales, dont chacune sera de AB, et représentera ainsi 10 mètres. On placera aux divisions de F A les n 01 10, 20, 50.... 90, et il n’y aura plus qu’à joindre les points de division de AF avec ceux de CE par des transversales, et l’échelle sera construite : caria partie de chaque parallèle comprise entre la transversale GF et EF vaut autant de dixièmes de GE que l’indique le numéro de EF qui se trouve sur cette parallèle. Ainsi la partie qui correspond au n° 5 vaut ^ de GE ou de 10 mètres, c’est-à-dire 3 mètres. Cela posé, si l’on veut figurer sur le plan une distance de 347 mètres, on placera une des pointes d’un compas sur la 7' parallèle à partir de la perpendiculaire numérotée 300, et l’on amènera l’autre pointe à l’intersection de cette parallèle avec la transversale numérotée 40.

Veut-on connaître, au contraire, la longueur d’une droite PQ, on portera sur l’échelle, à partir de la ligne 00, une ouverture de compas égale à cette ligne, ce qui fera connaître cette longueur à moins de cent mètres près. Supposons que PQ soit compris entre 200 m et 300®, on fera glisser le compas sur les parallèles successives jusqu’à ce que l’une des pointes étant sur la ligne 200 — 200, l’autre se trouve sur une des transversales. Si cette transversale est numérotée 30, par exemple, et que l’on soit sur la quatrième parallèle, on en conclura que la ligue PQ vaut 234 mètres.

Si les lignes que I on doit tracer sur le plan ne dépassent pas 800®, on pourra employer l’échelle d’un millième, c’est-à-dire représenter un mitre par un millimètre : car 800™ le seront alors par une longueur de 8 décimètres, et le papier grand-aigle a 0™,975 de largeur. Les règles de Kutsch fourniront alors d’excellentes échelles.

1286. PnoBLÈMK a résoudre. 1 * Quel est lé lieu fie tous les points qui partagent, dans le rapport constant de deux droites p et q, les droites qui joignent

un point O avec tous les points d'une circonférence donnée ?

2° Trouver le lieu de tous les points M , tels qu’en Fig. 140. joignant chacun d'eux avec un point A donné sur le plan d'une circonférence O , le produit des distances AM et A B soit égal au carré d'une droite donnée k.

3° Un point O et une droite AB étant donnés , Fig. 141. trouver le lieu des points M, tels qu’en joignant MO le produit des distances OC et O M soit égal au carré d'une d/oite donnée h.

U° Trouver le lieu de tous les points desquels on peut mener des tangentes égales a deux circonférences données. — Quel est ce lieu si les circonférences se coupent? — Prof ter cle cette remarque pour le construire, quand elles ne se coupent pas. — Ce lieu se nomme l’axe radical des deux circonférences . —

Les axes radicaux de trois cercles concourent en un même point qu'on nomme leur centre radical.

5° Trouver le lieu des points d'oir deux cercles donnés seraient vus sous le même angle.

6° Etant données trois droites qui concourent en un même point, mener par un point donné, une sécante telle que les deux parties interceptées par ces droites soient proportionnelles ci deux droites données p et q (méthode inverse).

7° Mener une sécante qui coupe trois droites données dans un même plan , de manière que les parties interceptées par ces droites soient chacune égales ci une longueur donnée.

8° Étant données quatre droites situées d’une manière quelconque sur un plan , mener une sécante telle que les trois parties interceptées par ces droites soient proportionnelles a des droites données p, q, r.

APPENDICE AU LIVRE III

J. I. Théorie des transversales.

Théorème I.

Fig. 142. *287. Toute transversale MN détermine sur les

côtés d’un triangle A BC six segments tels que le produit A' B. CB'. AC' de trois segments non consécutifs est égal au produit A'C.B'A.C'B des trois autres.

Menons en effet par le sommet A la parallèle A I à la transversale MN, et la propriété du n*2i8 appliquée successivement aux triangles B C'A' et CAI nous donnera les proportions