CB': B' A :: CA': A'I

Multipliant ces deux proportions par ordre et égalant ensuite le produit des extrêmes à celui des moyens, “il viendra

A'B. CB. C'A = A'C.B'A.C'B, ce qu’il fallait démontrer.

Théorème II.

*288. Réciproquement, trois points A', B', C', situés sur les côtés d’un triangle ABC o/i sur leurs prolongements, sont en ligne droite, lorsqu’ils déterminent sur ces côtés six segments tels que le produit A' B. CB'. AC' de trois segments non consécutifs est égal au produit A'C . B A . C'B des trois autres, pounni que les trois points ou un seul d’entre eux se trouvent sur les prolongements des côtés du triangle.

Employer la règle du n“ 48.

APPENDICE AU LIVRE III

Théorème III.

*289. Trois droites OA, O B, OC menées d’un Fig. 143. même point aux sommets d’un triangle ABC déterminent sur ses côtés ou sur leurs prolongements six segments tels que le produit AC'.BA'.C B' de trois segments non consécutifs est égal au produit C'B . A'C.B'A des trois autres.

Considérons en effet le triangle A B A' et la transversale CC', et nous aurons, en vertu du n° 287, CB.C'A.OA'= CA'.BC'. AO.

Les intersections des côtés du triangle A CA' par la transversale BB' nous donneront pareillement B'C.BA'.OA = AB'.BC. A'O.

En multipliant ces deux égalités membre à membre, et en supprimant les facteurs communs, il viendra

AC' . B A' . C B' = C'B . A'C . B' A ; c’est ce que nous voulions démontrer.

TnÉORÈME IV.

*290. Béciproqucment, trois droites issues des trois sommets d’un triangle ABC concourent en un même point, lorsqu’elles déterminent, sur ses côtés ou sur leurs prolongements, six segntents tels que le produit AC. B A'. CB' de trois segments non consécutifs est égal au produit C'B. A'C. B A des trois autres , pourvu que les trois droites ou une seule d’entre elles coupent les côtés.

Employer ici la règle du n° 48.

*291. Corollaire i. Les perpendiculaires abaissées des trois sommets d’un triangle sur les côtés opposés se croisent en un même point. En effet, les triangles ABA' et CBC', ACA' et BCB', CAC' et Fig. 144. BAB' sont équiangles et ont par conséquent leurs côtés homologues proportionnels : on aura donc les proportions