AC' : AB' :: AC: AB

On voit que si l’on multiplie ces trois proportions par ordre, le second rapport de la proportion résultante sera égal à l’unité; donc il eu sera de même du premier, et par conséquent

B A'. CB'. AC' = BC'. CA'. AB', donc les trois perpendiculaires AA', B B' et CC' vont * concourir (290).

Fig. 145. ‘292. Coroll aire ji. Les (Imites qui joignent les

sommets d’un triangle aux milieux des côtés opposés concourent en un même point. Ce point que l’on appelle le centre de gravité du triangle est situé au tiers de chacune de ces (Imites h partir des côtés. Il est d’abord évident que

B A'. CB'. AC’ = A'C.B'A.C'B; ainsi les trois médianes vont se croiser en un même point.

Tirons maintenant A'B', cette droite sera parallèle à AB (219), de sorte que les triangles CAB et CA' B' serout équiangles; leurs côtés homologues seront ainsi proportionnels; or CA' est la moitié de CB, donc A'B' est la moitié de AB. Mais les triangles GAB et G A'B', qui sont aussi équiangles, ont leurs côtés homologues proportionnels, et comme A'B' est la moitié de AB, GA' sera la moitié de GA, donc GA' est le tiers de AA'.

‘295. Scuolie. Le centre de gravité G d'un triangle, le centre O du cercle circonscrit et le point de concours P des perpendiculaires abaissées de ses sommets sur les côtes opposés sont /mis points situés en ligne droite, et la distance du premier point au second est la moitié de sa distance au troisième. lin effet, les distances G A et GC' étant les moitiés respectives de GA et deGC, si l’on prolonge GP d’une quantité GO égale à la moitié de GP, les droites A 'O et C'O seront parallèles à AP et à CP, (70, 1°); car les triangles

APPENDICE AU LIVRE III. 141

AGP et OGA', GPC et GOC' sont semblables (253); et ainsi les angles A et A', C et C' sont égaux. Donc A'O et C'O sont les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés BC et A B et O est par conséquent le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

*294. On appelle points harmoniques quatre points situés en ligne droite, de telle sorte que les distances du second au premier et au troisième sont pwporlionnel/es aux distances du quatrième a ces mêmes points, ou que le produit de la distance des deux points extrêmes par celle des deux points moyens est égal au produit des distances de ces deuxci aux deux autres. Si donc on a

BA : BC :: DA : DC ou DA. BC = BA .CD, Fig. 146. on dira que les quatre points A, B, C, D forment un système harmonique. I.es points de rangs pairs ou de rangs impairs sont dites points conjugués.

Des proportions (1) et (2) du n° 221 on tire Fig. 100. I B : I C :: l' B : l' C ;

ainsi les quatre points I, B, 1', C forment un système harmonique; B et C, I et 1' sont des points conjugués.

*29o. On appelle faisceau harmonique le système de quatre droites qui , issues d’un même point ,

-vont passer par quatre points harmoniques. Celles qui passent par des points conjugués sont dites harmoniques conjuguées. Ainsi, dans la figure 100, les droites Al', AB, AI et AC forment un faisceau harmonique; AB et AC, AI et Al' sont des harmoniques conjuguées. On voit donc que les deux cotés d’un angle et les bissectrices de cet angle et de son supplément J'ormcnt un faisceau harmonique.

Théorème Y.

*296. Quatre droites issues d’un même point O Fig. 147 . forment un faisceau harmonique , lorsqu’une parallèle EF à l’une d'elle OA est coupée par les trois autres en parties égales.

Tirons, en effet, une transversale quelconque AD, et je dis, que les quatre points A, B, G, D où elle rencontre les droites proposées, sont harmoniques. Pour le démontrer, je mène par le point C une parallèle IK. à EF, laquelle sera coupée en deux parties égales en ce point (225). Nous formerons ainsi des triangles équiangles DO A et DKC, BCI et BOA qui nous donneront les proportions