B A : B C :: D A:DC

*297. Scholie. AD étant une droite quelconque, la démonstration prouve que toute transversale est coupée harmoniquement par un faisceau harmonique.

TnÉORÈME VI.

*298. Réciproquement, si quatre droites issues d’un même point forment un faisceau harmonique , toute parallèle h l’une d’elles sera coupée en parties égales par les trois autres. *

Cette réciproque se démontrera par la règle du n°48, si l’on ne veut pas imiter la démonstration de la proposition directe.

Théorème* VII.

Fig. 148. *299. Si d’un point O , pris sur le plan d’un angle

XAY, on mène une série de transversales OBG, OB'C', OB"C". . . . . , qui coupent les cotés de cet angle, les droites qui, comme BC' et CB joindront les points de section opposés d’un même couple de transversales , se couperont en des points M , M', M". . . . dont le lieu sera V harmonique conjuguée de OA par rapport aux deux côtés de l’angle X AY.

Joignons, en effet, le point M au point A, et en appliquant au triangle ABC le théorème du n° 289 , nous aurons

APPENDICE AC LIVRE III. 14

fl' B. IC. C'A = B'A.IB.C'C.

Si on considère OB'C' comme une transversale du même triangle ABC, on aura aussi (287)

ÜB . B'A . C'C = O C . B' B . C'A ; multipliant ces deux équations membre à membre, et supprimant les facteurs communs, il viendra OB.IC = OC.ÏB,

ce qui montre que les quatre points O, C, I, B forment un système harmonique; donc AM est l’harmonique conjuguée de AO par rapport aux deux droites AX et ÀY. Par la même raison, AM' sera aussi l’harmonique conjuguée de AO par rapport à ces mêmes droites, et comme une droite ne peut avoir qu’une seule harmonique conjuguée à l’égard de deux autres (*), notre théorème se trouve ainsi démontré.

Problème I.

‘300. Trouver l’harmonique conjuguée de la dm île O B par rapport aux deux droites OA et OC.

1 re solution. Par un point quelconque E de OB je Fig. 147. mène une parallèle EGF à OA, je prends GF=GE et en joignant OF, j’aurai résolu le problème (298).

2° solution. Par un point quelconque M de OB, je Fig. 149. mène les deux transversales AF et GC, je joins AC et GF, et en tirant une ligne droite par leur point de concours D et par le point O, on aura l’harmonique conjuguée de OB.

Cette construction a , sur la précédente , l’avantage de pouvoir être effectuée avec la règle seulement.

(■) Cela est assez évident de soi-méme; au reste, on pourrait dire: si O A avait une seconde harmonique conjuguée Al', on devrait avoir (297)

OB.l'C=OC.l'B;

et en multipliant cette équation en croix par la précédente , il viendrait

I'C. 1B=IC. l'B, équation évidemment absurde.

144 LEÇONS DE GÉOMBTttlB.

Elle pourrait aussi servir à trouver l'harmonique conjuguée de B, par rapport aux deux points A et C. Il suffirait, pour cela, de joindre les points A, B, C à un point arbitraire O, de tirer ensuite par A une sécante quelconque AF, ce qui déterminerait le point M; on joindrait ensuite CM, puis en prolongeant GF on aurait le point D.

Théorème VIII.

Fig. 150. * 301. Dans tout quadrilatère complet (*)

BAEDFCB, chacune des trois diagonales AC, BD et EF est divisée harmoniquement par les deux autres.

Il résulte, en effet, de la 2' solution du problème précédent que BI est l'harmonique conjuguée de BD par rapport aux droites BA et BC; donc les diagonales EF et AC sont coupées en parties harmoniques, la première aux points E, H, F, I, et la seconde aux points A, G,C, I. On verra de même que IDest l’harmonique conjuguée de IB par rapport aux droites IG et IH, et qu’ainsi les quatre points B, G, D, H forment un système harmonique.

§. II. Théorie du pôle et de la polaire.

Lemme.

Fig. 151 * 502. Le lieu des points harmoniques conjugués

et 152. d’un point donné O, par rapport aux extrémités des cordes que laissent dans un cercle toutes les sécantes issues de ce point, est une ligne droite perpendiculaire au diamètre tiré par ce même point.

Tirons le diamètre OAB, et eu cherchant l’harmonique conjuguée P de O par rapport aux points A et B,

(■) Si l’on prolonge les côtés opposes d’un quadrilatère simple AGCD jusqu’à leur rencontre en E et c-n F, on dit que la droite EF est la troisième diagonale du quadrilatère, et que ce quadrilatère est complet.

APPENDICE AU LIVRE III

nous aurons un point du lieu. Il s’agit donc de faire voir que si par ce point on mène ntic perpendiculaire à AB, elle coupera toute corde CD issue de cc point en parties harmoniques. Pour cela, j’observe que lu circonférence AB CD est le lieu de tous les points dont les distauces aux points O et P sont dans le rapport AO : AP ou B O : BP (222), puisqu’on a, par construction ,

AO : AP ” BO : BP; si donc on joint PC et PD, on aura CO : CP :: DO : DP.

Or, cette proportion prouve que , dans la figure 1 51 ,

OP est la bissectrice de l’angle CPD', et que par conséquent RS, qui est perpendiculaire à OP, divise l’angle CPD en deux parties égales. On voit de même que, dans la figure 152, OP est la bissectrice de l’angle CPD , et que par conséquent RS, qui est perpendiculaire à OP, divise l’angle CPD' en deux parties égales; donc les quatre droites PO, PC, PR et PD forment un faisceau harmonique (29i>), donc la droite RS passe par le point conjugué de O, par rapport aux points C et D (297).

Problème I.

* 503. Par un point Jixe O, on mène tant r/e Fig. 153. .couples de sécantes que l'on voudra à une circonjérence, trouver le lieu des points de concours des droites qui joindront les points ou ces sécantes rencontrent la courbe.

Soient O AB et O A'B' un couple de sécantes, il s’agit de trouver le lieu des points M et M', déterminés en joignant AB' et B A', AA' et B B'. Désignons, pour cela , par N et par N' les points harmoniques conjugués de O par rapport à A et à B , et à A' et à B'. Joignons MO et MN et nous formerons un faisceau harmonique MO AN B, qui devra couper O A'B' en parties harmoniques (297); par conséquent MN ira passer par N';

donc le point M est situe sur la direction indéfinie de la droite qui est le lieu des points harmoniques conjugués de O par rapport à la circonférence proposée ; et comme on en dirait autant dn point M' , il faut en conclure que cette droite est précisément le lieu que l’on cherche. «

* 304. Le lieu des points M se nomme la jrolaire du point O, et ce point est appelé réciproquement le pôle de celte droite. Nous verrons bientôt la raison de ces dénominations (508 et 512).

* 308. Nous pourrons, d’après cela, énoncer le lemme (502) en disant que toutes les cordes dont les

Fig. 1 50 directions vont passer par un meme point O, situé et loi. sur [ c plan d'une circonférence } sont coupées en parties harmoniques par ce point cl par sa polaire IIS, laquelle est perpendiculaire ail diamètre AB tiré par ce point.

Ainsi on a la proportion