il et par conséquent la fraction con

~ * + J ïs

tinue est égale à 2 + fy = ^r-

Il suit de là que le développement d’une quantité incommensurable en fraction continue ne peut pas se terminer , sans quoi, en formant toutes les réduites, ou trouverait une grandeur commensurablc, pour valeur de cette quantité incommensurable.

On voit ainsi que les fractions trouvées, eu regardant successivement chaque reste comme la commune mesure des droites A et B, sont précisément les fractions convergentes de celte fraction continue, de sorte que

la valeur obtenue pour le rapport -g-, en s’arrêtant à

un certain reste, est effectivement d’autant plus approchée que l’on aura poussé l’opération plus loin.

Théorème I.

Fig. 7. 51. Si deux lignes brisées ABC et AOC, compo-

sées chacune de deux lignes droites , se terminent aux mêmes points S. et C , et que l’une enveloppe

l’autre (*), la première sera plus grande que la seconde.

Prolongeons en effet AO jusqu’à sa rencontre en D avec BC, le point D sera situé entre B et C, puisque ABC enveloppe A OC. Cela posé, la droite OC est plus courte que la brisée ODC (7) : donc , en ajoutant AO de part et d’autre, on aura :

AOC < ADC.

D’un autre côté la droite AD est plus courte que la brisée A BD : donc, en ajoutant BD de part et d’autre, on aura :

ADC < ABC;

Donc AOC, qui est moindre que ADC, est à plus forte raison plus petite que ABC.

§. II. Des perpendiculaires et des obliques.

32. Lorsque deux droites AB, CD, se coupent , Fig. 4. elles partagent le plan qu’elles déterminent (19) en quatre parties AOC, COB, BOD, DOA, dont chacune s’appelle un angle. Ainsi un angle est une portion indefinie de surface plane , comprise entre deux droites qui se coupent , et sont terminées a leur point de section. Ce point se nomme le sommet de l’angle, et les deux droites en sont les côtés. Ainsi O est le sommet de l’angle AOC, et AO et OC sont ses deux côtés. On désigne, comme on voit, un angle par trois lettres, dont les deux extrêmes indiquent deux points de ses côtés, et dont celle du milieu appartient au sommet. Quelquefois même on dénomme un angle par la lettre placée à son sommet ; mais il faut, pour cela, que ce sommet ne soit pas commun à d’autres angles. Ainsi, dans la figure 2 nous pourrons dire l’angle C pour désigner l’angle ACD.

(') Une ligne est enveloppée par une autre qui a les mêmes extrémités qu’elle, lorsque toutes les deux sont situées d'un même côté de la droite qui joint ces extrémités.

53. Remarquons que la grandeur d’un angle dépend de la quantité de surface plane comprise entre scs côtés, et par conséquent de leur écartement : ainsi, si

Fig. 8. l’on fait sur AB l’angle DAB égal à BAC, sur AD l’angle F AD = D AB, etc., les angles D AC, FAC,....

seront respectivement double, triple, de l’angle

BAC. D’oît il suit qu’on peut très-bien comparer plusieurs angles à l’un d’eux pris pour unité , par suite les mesurer, et conséquemment les soumettre à toutes les opérations du calcul. Ainsi, en prenant BAC pour unité, les angles DAG et FAC vaudront l’un 2, et l’autre 3 unités.

54. Puisque les côtés d’un angle doivent toujours être supposés indéfinis, et que deux droites coïncident dans toute leur étendue lorsqu’elles ont seulement deux points communs (9), on devra conclure que deux angles sont égaux lorsque, étant placés l’un sur l’autre , ils se recouvrent parfaitement dans une certaine portion de leur étendue.

Fig. 9. 3o. Si l’on conçoit qu’une droite ÜC, d’abord

couchée sur O A, tourne autour du point O , en s’éloignant de la partie OA, cette droite formera avec AB deux angles que l’on appelle adjacents , dont l’un , CO A , ira constamment en augmentant depuis zéro, et dont l’autre, COB, ira au contraire en diminuant sans cesse jusqu’à devenir nul , ce qui arrivera quand CO sera couchée sur O B. On conçoit, d’après cela, qu’il y aura une position OD de la droite mobile et une seule, dans laquelle elle fera avec AB deux angles égaux, DOA et DOB : on dit qu’elle est alors perpendiculaire sur A B. Ainsi une droite est perpendiculaire sur une autre lorsqu'elle fait avec cette autre deux angles adjacents égaux , et ces angles se nomment angles droits.

Théorème If.