Inscrire un hexagone régulier dans une circonférence

Fig. 163. Supposons le problème résolu, etsoitAB le côté de l'hexagone régulier. Son angle au centre AOB sera le sixième de quatre droits ( 524 ), c’est-à-dire les g ou les | d’un seul ; donc il restera pour la somme des deux autres angles A et B du triangle OAB (148), 2 — § = 5 d’angle droit. Mais ces angles sont égaux ( 157 ), puisque AO = OB ; donc chacun d’eux vaudra | d’un droit; donc le triangle AOB est équianglc, et, par conséquent, équilatéral ( 138 ). Ainsi , le côté de l’hexagone régulier est égal au rayon ; de sorte que, pour inscrire

t'unie, on verra facilement qu’il est exprimé par la fraction périodique mixte

-f- etc.

qui est précisément le développement de j/ 2 en fraction tin ne.

con-

DES POLYGONES BÉGÜLIEES. 163

ce polygone dans la circonférence, il suffira de porter le rayon six fois sur cette courbe, et de joindre chaque point de division avec le suivant.

53». Corollaire. En joignant les sommets de l'hexagone régulier de deux en deux, on formera le triangle équilatéral inscrit. Si l’on veut calculer son côté, on observera que l’arc A HCL) étant ou la moitié de la circonférence, le triangle ACD est rectangle en C, et qu’ainsi AD étant égal à 2 R, et CD à 11 , on aura :

AC = V ÂD’ — CD~= \ /k R 1 — R’ = 1/3R 7 , ou, enfin :

AC = R.t/3.

Ainsi le côté du triangle équilatéral inscrit est égal au rayon multiplié par la racine carrée de 3 : d’où l’on voit que la racine carrée de trois est le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle dont le rayon est l’unité linéaire.

339. Scholie i. On voit, à l’inspection seule de la figure, queues points C et E étant chacun équidistants de O et de D, CE est perpendiculaire sur le milieu de OD, de sorte que X apothème r d’un triangle équilatéral est la moitié du rayon R du cercle qui lui est circonscrit et que sa hauteur h est les | de ce même rayon. Si donc on désigne par a le côté de ce triangle, on aura

; ~ 2 V^3 ’ Vl>~~ 2

Si on mène au point D une tangente terminée aux prolongements des rayons OC et OE, on obtiendra k côté C E' du triangle équilatéral circonscrit au cercle OA. Or, la similitude des triangles OCE et OC'E’ donne la proportion