RAPPORT DE LA CIRCONFÉRENCE AC DIAMÈTRE

En effet, si la ligne A MB n’est pas plus petite que toutes celles qui l’enveloppent, il existera parmi cellesci une certaine ligne ACDB plus courte que toutes les autres. Menez entre les deux lignes AMB et ACDB une droite quelconque FG, qui ne rencontre point AMB, ou qui, du moins, ne fasse que la toucher, ce qui est possible, puisque AMB est convexe. Or la droite FG est plus petite que FC DG : donc, en ajoutant de part et d’autre AF et G B, on aura : AFGB < ACDB; donc il était absurde de supposer que ACDB fût la plus courte de toutes les lignes qui enveloppent AMB ; et, comme on pourrait répéter le même raisonnement sur toutes les lignes qui entourent AMB, on doit en conclure que AMB est effectivement moindre que toutes les lignes qui l’enveloppent.

347. ScnoLiii i. Remarquons que le théorème du n° 31 n’est qu’un cas particulier de celui-ci.

348. ScnoLiE ii. Remarquons encore que le raisonnement précédent conviendrait également au cas où la ligne convexe A MB serait fermée, et que la ligne enveloppante aurait avec elle un ou plusieurs points communs, ou même aucun point commun.

Théorème II.

349. On peut toujours inscrire et circonscrire h une circonférence deux polygones réguliers semblables, tels que la différence de leurs périmètres soit moindre que toute quantité donnée , de sorte que cette circonférence est la limite vers laquelle tendent ces périmètres , lorsqu’on suppose que le nombre des côtés des deux polygones augmente indéfiniment.

1° Soient R le rayon de la circonférence donnée, P et p les périmètres de deux polygones réguliers semblables, circonscrit et inscrit à cette circonférence, et r l’apothême du second : on aura (326) :

d’où l’on tire

et par conséquent

Il ‘

Or, si l’on inscrit et circonscrit à la circonférence tics polygones réguliers semblables dont les côtés soient de deux en deux fois plus nombreux , les valeurs successives de P, quantité plus grande que la circonférence (546), iront constamment en diminuant; donc, si l’on peut prouver que le facteur (R — /•) peut être rendu moindre que toute grandeur donnée, il sera prouvé que la différence (P — p ) jouira aussi de la même propriété, puisque le dénominateur R est inva- Fig. 158. riable. Mais (R — r ) ou (OA — OR) est une quantité moindre que AK, c’est-à-dire moindre que la moitié du côté du polygone inscrit que l’on considère, et ce côté peut être rendu aussi petit que l’on voudra (’) : donc la différence (P— p) décroît indéfiniment; à plus forte raison en est-il de même de la différence entre chacun des périmètres P et p et la circonférence proposée, puisqu’elle est moindre que le premier et plus grande que le second ; donc elle est leur limite commune; donc le théorème est démontré.

350. Il suit de ce théorème et de ce que la figure d’un polygone régulier s’approche d’autant plus de celle du cercle que le nombre de ses côtés est plus grand, que l’on peut regarder un cercle comme un polygone régulier d’un nombre infini de côtés. Ces côtés se nomment les éléments de la circonférence, et l’on voit, d’après la définition du n° 85, que la tangente à la circonférence, en un point donné, n 'est au-

(") En effet , les arcs sous-tendus par les côtés tics polygones inscrits successifs sont les termes d'une progression par quotient dont la raison est , et qui se prolonge indéfiniment : or, nous avons démontré, au n° 303 de l’Arithmétique, que le dernier terme d’une progression géométrique décroissante a zéro pour limite , lorsque la progression se prolonge indéfiniment ; donc à plus forte raison les cordes de ces arcs tendent-elles aussi vers zéro.

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tre chose que le prolongement indéfini de l'élément sur lequel ce point est situé.

584. 11 suit de cette nouvelle manière d’envisager le cercle qu’il doit jouir de toutes les propriétés des polygones réguliers qui sont indépendantes du nombre de leurs côtés, et que par conséquent les circonférences de deux cercles sont proportionnelles a leurs rayons (5i2). Mais, comme cette proposition est fort importante, nous allons en développer la démonstration.

Théorème III.

382. Deux circonférences sont proportionnelles a leurs rayons.

Soient R et R' les rayons de deux circonférences, je dis qu’on aura

Cire. R : cire. R' : : R : R' (‘).

Pour le démontrer, j’inscris dans ces circonférences deux polygones réguliers semblables, et, en appelant P et P' leurs périmètres, nous aurons P : P'*:: R : R', ou , ce qui revient au même,

Or, si nous substituons à ces deux polygones d’autres polygones réguliers semblables, dont le nombre des côtés soit de plus en plus grand, P et P varieront, mais l’équation précédente subsistera toujours; elle aura donc encore lieu quand le nombre des côtés de nos deux polygones sera devenu infini, mais alors leurs périmètres auront atteint leurs limites respectives cire. R et cire. R', de sorte qu’on aura cire. R cire. R'

( 1 ) Nous désignerons désormais, pour abréger, par n>e. R et par cer. R la circonférence et le cercle dont le rayon est R.

car les limites de deux quantités variables, qui restent

constamment égales, sont égales (').

3;>5. Corollaire i. Deux arcs semblables, c’està-dire deux arcs qui correspondent à des angles au centre égaux, sont proportionnels a leurs rayons.

Fig. 159. Soient, en effet, O et O' deux angles au centre égaux, et BAC, B'A'C' les arcs que leurs côtés interceptent sur les circonférences respectives OA et O' A' : il suit du théorème du n° 108 que chacun de ces angles est à quatre droits comme l’arc compris entre ses côtés est à la circonférence dont il fait partie; ainsi

O : 4 droits : : A C B : cire. O A ,

O': K droits :: A'C'B' : cire. O' A'.

Mais, comme les angles O et O' sont égaux, ces deux proportions sont liées par un rapport commun, de sorte que l’on en tire :

ACB : cire. OA : : A' C B’ : cire. O' A', ou ACB : A'C' B' : : cire. OA : cire. O' A' : : O A : O' A'.

3o4. Corollaire h. Les circonférences de deux cercles sont proportionnelles h leurs diamètres : ainsi le rapport d’une circonférence quelconque à son diamètre est le même que celui de toute autre circonférence à son diamètre, et est par conséquent un nombre constant. Or le rapport de deux quantités est le quotient qu’on obtient en divisant la première par la seconde : donc,

(’) Si on doutait que — ^ — fût la limite du rapport — , on

observerait que l’on peut toujours poser P — are. It — a, a étant une quantité variable susceptible de décroître indéfiniment. On tire , . P cire. R « ,

de cette conation — — , et comme a tend vers zéro,

1 R R It’

à mesure que le nombre des côtés du polygone devient plus grand, on en conclut «pic la limite du second membre de cette

cire. R , P cire. R

équation est •; donc tint. — = .