RAPPORT DE LA CIRCONFÉRENCE AU DIAMÈTRE

ces périmètres et leur moyenne différentielle : donc elle différera de cette moyenne de moins de deux millièmes; par conséquent, en prenant la moitié de cette moyenne, on aura le rapport de la circonférence au diamètre à moins d'un millième près, comme on le demande. Occupons-nous donc du calcul des périmètres de nos deux polygones.

Nous commencerons par inscrire dans notre circonférence Ttin des polygones réguliers que nous savons v inscrire; et, comme le côté de l’hexagone est égal au rayon, et par conséquent à 1 , dans notre hypothèse, nous partirons de ce polygone dont le périmètre sera G. Nous pourrons ensuite, au moyen de la formule

du n° 327, calculer le côté de l’hexagone régulier circonscrit, en y faisant R=«=1. On trouvera ainsi pour valeur de ce côté :

Multipliant par 6 les valeurs des côtés de ces hexagones, ou aura celles de leurs périmètres :

P 6 = -^L = l/ 48 = 6,9282 et/; G = 6.

Mais comme la différence de ces périmètres surpasse 0,004, ou devra passer aux polygones de 12 côtés.

On substituera donc les valeurs trouvées pour les périmètres des hexagones dans les formules (2) ct(1) du n° 333, ce qui donnera

P, a = 24(2— 1/3) et p t ,= 12^12—1/3, pour la mesure des périmètres des dodécagones circonscrit et inscrit; et si’ la différence de ces mesures surpasse 0,004, on passera successivement aux polygones de 24, 48, 96, etc., côtés, jusqu’à ce que l’on arrive à deux polygones semblables, dont la différence des périmètres ne surpasse point quatre millièmes, ce

qui est possible (549) : il n’y aura plus alors qu’à additionner ces deux périmètres, et à prendre le quart de la somme. On a trouvé que les périmètres des polygones de 96 côtés étaient :

Somme.... 12,567 d’où.... tt=3,141.

Telle est donc la valeur du rapport de la circonférence au diamètre, exacte à moins d’un millième.

Si l’on voulait avoir exactement le chiffre des millièmes, il faudrait pousser le calcul jusqu’à ce qu’on arrivât à deux polygones dont les périmètres eussent les trois premières décimales communes, et négliger les décimales ultérieures.

Legendre a démontré que non-seulement le rapport de la circonférence au diamètre était incommensurable, mais que son carré meme l'était aussi : de sorte qu’on ne peut l’obtenir qu’avec une approximation plus ou moins grande. Au moyen d’une méthode plus expéditive que la précédente, on a poussé le calcul de la valeur de rt jusqu’à 154 décimales, et il est facile de voir qu’en employant cette valeur pour calculer la circonférence d’un cercle dont le rayon serait la distance moyenne de la terre au soleil, c’est-à-dire de plus de 1 52 millions de kilomètres, l’erreur serait bien moindre que l’épaisseur d’un cheveu.

La valeur de 7: exacte à moins d’une demi-unité du dixième ordre décimal est

7r = 3,14159 26536, et elle a pour logarithme