AB. DE

Le triangle BCD a de même pour mesure < DC.DE:

car la perpendiculaire que l’on abaisserait de son sommet B sur la base DG serait égale à DE, comme parallèles comprises entre parallèles. Additionnant ces deux produits, et mettant DE eu facteur commun, il viendra :

(|AB + iDC).DE ou . l B - t - D - C ..DE,

c’est-à-dire la demi-somme des bases parallèles du trapèze multipliée par sa hauteur.

376. Corollaire. Si par le milieu G du côté AD nous menons GLK. parallèle aux bases AB et CD, nous formerons le triangle DGL, semblable à DAB: ainsi les côtés homologues de ces triangles seront proportionnels. Mais DG est la moitié de DA : donc DL et GL sont les moitiés respectives de DB et de AB; donc, si par le milieu de l’un des côtes d’un triangle on mené une parallèle h l’un des deux autres côtés , elle sera la moitié de ce côté, et passera par le milieu du troisième. 11 suit de là que le point K sera le milieu de CB, et que LK sera la moitié de CD : donc G K. est la demi-somme des deux bases A B et D C ; donc , si par le milieu de l’un des côtés non parallèles d’un trapèze on mène une parallèle aux bases, cette droite passera par le milieu de l’autre côté, et sera la demisomme des deux bases.

On peut donc dire que l'aire d’un trapèze a pour mesure le produit de la droite qui joint les milieux des côtés non parallèles multipliée par sa hauteur.

377.11 sera facile, en s’appuyant sur la formule (1) du u° 372 , de calculer la surface d’un trapèze en fonc-

tion de scs côtés. Supposons, par exemple, que les côtés parallèles A B et CD soient respectivement de 10 “ et de 6 m , et les deux autres AD et B C de 3 ™ et de 5 m . Je mène DO parallèle à CB : cette droite vaudra par conséquent 5 m , et AO en vaudra 10 — 6=4. Alors le périmètre du triangle ADO sera 12 m , et l’on aura : p — G, p — A 0=2 ,p — DO = 1, p — AD=3; donc, e n vertu d e la formule ( 1 ) du n a 372, h = V 6.2.1 .3 = 3, ce qu’on aurait pu prévoir, puisque les côtés DA AO et OD du triangle ADO étant respectivement de 3, 4 et 5 mètres, l’angle A est alors droit (239, 3°). L’aire de notre trapèze aura donc pour mesure

i.yp, 3 — 24 m < i'

Tni-onèME XI.

378. L’aire d’un polygone régulier quelconque est égale h son périmètre multiplié par la moitié de son apothème .

Si l’on joint, en effet, le centre du cercle inscrit au polygone avec chacun de ses sommets, on le partagera en autant de triangles qu’il a de côtés : de sorte qu’en additionnant les aires de tous ces triangles, on aura celle du polygone proposé. Or ces triangles auront pour bases respectives les différents côtés du polygone, et pour hauteur commune son apothème : aiusi chacun d’eux aura pour mesure le côté du polygone qui lui sert de base multiplié par la moitié de cet apothème. Dans l’addition de ces aires partielles on pourra mettre la moitié de l’apothème en facteur commun , et alors on trouvera, pour l’expression de l’aire demandée, la somme des côtés du polygone , c’est-à-dire son périmètre multiplié par la moitié de son apothème.

379- Corollaire. Cette mesure de l’aire d’un polygone régulier étant indépendante du nombre de ses côtés doit , par conséquent, convenir au cercle (380) : donc l'aire d’un cercle a pour mesure le produit de

sa circonférence multipliée parla moitié de son rayon. Nous allons démontrer ce théorème , indépendamment des considérations du n° 3130.

TnÉonÈME XII.

380. L’aire d’un cercle est égale au p/vduit de la circonférence multipliée par la moitié du rayon, c’està-dire que

Cerc. R = cire. R x j R.

En effet, si l’on circonscrit un polygone régulier quelconque au cercle proposé , et que l’on désigne par A et par P l’aire et le périmètre de ce polygone, on aura

Or, si l’on circonscrit à notre cercle d’autres poly-, gones réguliers dont le nombre des côtés soit de plus en plus grand, A et P varieront, mais l’équation précédente subsistera toujours : elle aura donc encore lieu quand le nombre des côtés de notre polygone sera devenu infini; mais alors A et P auront atteint leurs limites respectives cerc. R et cire. R , de sorte qu’on aura

Cerc. R = cire. R X -J- R,

car les limites de deux quantités variables, qui restent constamment égales, sont égales (’).

381. Corollaire i. Il suit de là et de la règle donnée pour calculer la circonférence d’un cercle en fonction de son rayon (354) que l’on aura, pour expression de l’aire du cercle, 2 tt.R. * R = 7r.R”; ainsi

(‘) Si l’on doutait que cire. R X t R fût la limite du produit PXt R; °n observerait que P=cj>c.R -f- a, * étant une quantité variable susceptible de décroître indéfiniment. On tire de cette

équation P. }R=rirr,RX t R-} — — ; et comme * tend vers

zéro, à mesure que le nombre des côtés du polygone devient plus grand, ou en conclut que la limite du second membre de cette équation est cire. R X t R i donc lim. P X i R = c£rr. R X ÿR-

Cerc. R = 7T . R* ;

don c, pour calculer l’aire d'un cercle , il faut multiplier le rapport de la circonjérence au diamètre par le carré du rayon.

Ycut-on, par exemple, l’aire d’un cercle de trois mètres de rayon, à moins d’un centimètre carré : on observera que l’expression de cette aire étant 9 ît, pour que l’erreur soit moindre qu’un centimètre carre, c’està-dire que — de mètre carré, il faudra, conformément à la règle donnée au n° 508 de notre Arithmétique, prendre la valeur de r. à moins de TfüüWï;. On aura ainsi 9 tî= 3,1 41 592x9=28,274328; et comme le cinquième chiffre est moindre que 9, on eu conclut que 28”“ q , 2743 est l’aire de notre cercle, à moins d’un centimètre carré près.

582. Corollaire il. 11 suit encore du théorème précédent que, pour trouver la quadrature du cercle, c’est-à-dire pour construire un carre équivalent à un cercle donné, il ne s’agit que de chercher une moyenne proportionnelle entre la moitié de la circonférence de ce cercle et son rayon, et l’on aura ainsi le côté du carré demandé. Mais, comme nous n’avons pas de moyen géométrique pour rectifier la circonférence (557), il s’ensuit que nous n’en avons pas nou plus pour trouver la quadrature du cercle. Quoiqu’on n’ait pas encore démontré qu’il soit impossible de résoudre ce problème, en n' employant que la règle et le compas , néanmoins l’inutilité de toutes les tentatives que, depuis plus de deux mille ans, on a faites pour y parvenir, doit nous faire penser que ce problème n’est pas du ressort de la géométrie élémentaire.

Le calcul permet de résoudre ce problème avec une exactitude presque indéfinie; car nous avons vu que l’on a poussé la détermination de la valeur du rapport de la circonférence au diamètre jusqu’à 154 décimales. Veut-on, par exemple, à moins d’un millième près, le côté du carré équivalent an cercle dont le rayon serait

<lc 3"' : comme sa valeur est alors V 97t, on prendra la valeur de tc exacte à moins d’une unité du huitième • . ordre décimal, et l’on en déduira 9 7r = 28,274328,. valeur qui n’est pas fautive d’un millionième. En eu extrayant la racine carrée, on trouvera, pour le côté du carré demandé, 5 U ‘,317.

Théorème XIII.

583. L'aire d'un secteur AM HO (on ainsi la portion d’un cercle comprise entre ni les deux rayons menés à ses extrémités) est égale à l'are A MB, qui lui sert de base } multiplié par la moitié du rayon AO.

En raisonnant, en effet, comme nous l’avons fuit au n° 108, on démontrera que l’aire d’un secteur est à celle du cercle comme l’arc qui lui sert de base est à la circonférence : de sorte qu’en représentant par A l’aire d’un secteur, par a la longueur de son arc, et par R celle du rayon du cercle auquel il appartient, ou a la proportion |

A : cerc. B : : a : cire, R. L En multipliant les deux termes du second rapport par £ R, il viendra

À : cc/r. R : : a X \ R : cire. R X j R. 9

Or, les conséquents de cette dernière proportion sont égaux (580) : doue il en doit être de même des antécédents; donc *

appelle i arc et

ce qui démontre notre théorème.

584. On voit ainsi que, pour évaluer Faire d’un secteur, lorsqu’on donne seulement le rayon et le nombre de grades et de parties de grade de l’arc qui lui sert dé base, on doit commencer par calculer la longueur de cet arc. Supposons, par exemple, que l’on demande Faire d’un secteur dont l’arc est de 15 e 7;V et le rayon 12 m ,7. On observera que, dans un même ccr-

cIc, les longueurs des ares sont proportionnelles aux nombres de grades et de parties de grade qu’ils contiennent; or la longueur de l’arc de 200 “ est ici 12 m ,7 X (5Ü4), en adoptanL le rapport d’Archiinède ; donc on aura la longueur de l’arc de 1 5“ 75' par la proportion

d’où l’on lire x == 22 m , 00275, en substituant au rapport des nombres concrets 200“ et 15“ 75', le rapport équivalent 200 : 1 5,75. Ainsi l’aire de notre secteur est égale à

« joü . Un appelle sinus d'un arc la perpendiculaire abaissée de l’ fme.de ses extrémités -sur lé rayon qui passe par l'autfè: ainsi AP est le sinus de l’arc AMB : d’ouTcm voit que ce sinus est la moitié de la corde AA' qui^sous-tend l’arc A MA' double de AMB.

TnÉonèau- XIV.

î 586. L’ dire d'un segment de cercle A 1MB A (on appelle ainsi la portion d’un cercle comprise entre un " arc et sa Corde) a pour mesure la , moitié de son rayon multimiée par l'excès de cet arc sur so)i sinus.

Kn effet, lWe du segment AMB est évidemment Indifférence dès aires du secteur AMBO et du triangle A B O. Mais lejsccteur a pour mesure AMB;* P ; ^ jj-q

l’aire du triaugle est égale à —j~. A P : donc le segment aura pour mesure la différence de ces deux produits, c’est-à-dire, en mettant ^ 7 - en facteur commun,

— 77 — • (A M B — AP), ce que nous voulions démontrer.

Or, quand on connaîtra un arc et son rayon, on devra pouvoir calculer le segment tic cercle correspondant. : car le siuus d’un arc donné est nécessairement

déterminé. Cependant le calcul du sinus d’un arc donné est un problème que la géométrie élémentaire ne peut résoudre que dans un petit nombre de cas trèsparticuliers.

Exemple. Calculer l’aire d’un segment dont l'arc est de 00’, dans le cercle dont le rayon est II.

Si l’on remarque que l’are de 00° est, le sixième de la circonférence, on conclura du n° 354 que sa longueur est égale à D’un autre côté, lej sinus de cet

arc est la moitié du côté du triangle équilatéral inscrit (303), puisque ce côté sous-teml un arc de 120"; donc l’aire demandée a pour expression

fïtR R vï\ R (Ï-— 3 V^3 )R>

Problème I.