Mesurer l’aire d’un polygone irrégulier quelconque

Il peut se présenter deux cas, selon que l'intérieur du polygone est accessible ou qu’il ne l’est pas.

Premier cas. 1° Si l’on peut parcourir le polygone-; dans tous les seus, on le partagera en triangles, en ayant soin de faire partir toutes les lignes de divisiondu sommet d’un même angle -si la chose est possible, et il ne s’agira plus alors que d’évaluer les aires de Ces différents triaugles. Pour abrégerjles opérations, ou - |j donnera, si cela se peut, la même base à deux triangles adjacents; car alors, dans l’addition de leyrs aires, on mettra cette base qiufacteur cofffmun-, et l’on trouvera ainsi que l’aire du quadrilatère formé par ces deux triangles est égale à la base commune multipliée par la demi-somme de leurs hauteurs. I)o : cette manière, on remplacera une multiplication par une addi- Fig. 177. lion. Ainsi, dans la figure 1 77, on prendra la diagonale AC pour base commune des triangles Af>C et AUC, et, en abaissant sur celle base les perpendiculaires BD'

et DD', on verra que, leurs aires respectives étant AC.?^-ct AC.Ï-^, celle du quadrilatère ABCD sera

AC.— En prenant de même AE pour base com-

mune des deux triangles ADE et AFE, on trouvera que l’aire du quadrilatère AD El’’ a pour mesure DD" 4- FF'

AE. - ; et, comme celle du triangle AGF a

Cl o #

pour expression AF.-^-, on en conclura que la mesure de l’aire du polygone entier est | { AC . (BB' +DD') + A E . (DD" + FF') + AF . GG' } .

Observons toutefois qu’il sera encore pins simple, et surtout plus exact, d’évaluer l’aire de chaque triangle en fonction immédiate de ses côtés ( 572 ) , puisqu’on sera ainsi dispensé d’abaisser la hauteur de chacun.

2° On peut encore parvenir à évaluer l’aire d’un polygone quelconque en le décomposant en triangles et eu trapèzes rectangles. Pour cela , on tirera, dans le sens de sa plus grande largeur, d’un angle à un autre du polygone, une droite AI, que l’on nomme ilirec- Fig. 178. trier; puis des sommets B, C,D,K, on abaissera des perpendiculaires BB', CC', DD', K Iv', sur celte droite; et des points F et G, les perpendiculaires FF' et GG' sur DD'. Mesurant ensuite AB', B C',

C D', D'I, BB', KK', CC', DF', F'G', G'D', FF' et GG', on aura les éléments nécessaires à la détermination des aires de toutes les parties ABB', BC', CD ,

DF F', FG', GD et A Kl, dans lesquelles nous avons décomposé notre polygone. Supposons, par exemple, que l’on ait trouvé

A B' = 1 5*8 ; B'C' = 1 2*6 ; C D' = 2 1 ”4 ; D' I = 30 m 2 B B' = 1 7,3 ; kl\ ' = 1 8, 1 ; C C' = 1 0, 5 ; D F'= 1 0, 8 F'G'== 1 6,4 ; G'D = 11 ; F F' = 1 4, 1 ; GG' = 8, G.

Il en résultera d’abord que AI = 80 m ,”et que DD'

= 38*2 (il sera bon, d’ailleurs, de mesurer directement res deux dernières lignes pour se fournir des vérifications). On verra ainsi que

. ABB' = i£S.17,3 = l36, m "G7

DFF' = = 7G, 14

F G' = (1 4,1 + 8, G) . lf-* = 1 8G, 1 4