FF'4-BB

puisque tous ces trapèzes ont des hauteurs égales à A'C'. En additionnant tous ces produits, on pourra mettre A'C' en facteur commun, et, en observant que la moitié de chacune des perpendiculaires intermediaires CC', DD', FF', est répétée deux fois, on trouvera en définitive :

A A M B B'= j < VAL 't - - + CC'+DD'-f-FF' j . A'C',

résultat qui nous apprend que, pour évaluer l’aire d’un segment curviligne quelconque, il faut partager sa base en un nombre de parties égales d'autant plus grand que l'on voudra plus d’ exactitude ; élever aux différents points de division des perpendi-

ciilarrcs à cette base , puis ajouter a la demi-somme des deux perpendiculaires extrêmes toutes les perpendiculaires intermédiaires, et multiplier le résultat par la distance de deux points de division consécutifs.

Cette règle comprend évidemment, comme cas particulier, celui où les deux extrémités de la courbe, ou l’une d’elles seulement, se trouveraient sur la base du segment; car alors il suffirait de regarder comme nullcs les deux perpendiculaires extrêmes, ou seulement l’une d’elles.

Problème III.

390. Évaluer l'aire de la surface comprise entre deux lignes courbes et deux lignes parallèles, ou enveloppée par une ligne courbe.

1° Si l’on peut pénétrer dans l’intérieur de l’aire à 181 . mesurer, on tracera une perpendiculaire af aux deux parallèles AA' et FF'; on la divisera en un certain nombre de parties égales, et, par tous les points de division, on mènera des parallèles à AA'. De cette manière, l’aire AF' sera partagée en un certain nombre de figures qu’on pourra regarder comme des trapèzes ayant tous pour hauteur commune la distance a b de deux points de division consécutifs; et, en évaluant les aires de ces différents trapèzes, on trouvera que leur somme, c’est-à-dire celle de AF, a pour mesure le produit que Von obtient en multipliant par la distance de deux parallèles consécutives la demi-somme des deux parallèles extrêmes augmentée de toutes les autres.

Telle est la règle que l’on suit pour mesurer l’aire de la section horizontale faite dans la carène d’un vaisseau, ainsi que celle de la section verticale déterminée dans cette même carène par un plan parallèle au plan de symétrie du navire.

Si la surface à mesurer est terminée de toutes parts par une ligne courbe, on la partagera encore en tra-

pèzcs , en traçant clans son intérieur une ou plusieurs directrices : ainsi, clans le cas de la figure 182, on ti- Fig. 182. rcra une première directrice AB aux extrémités de laquelle on élèvera deux perpendiculaires AA' et B B'; on mènera ensuite une seconde directrice CD perpendiculaire à BB', et en D une parallèle DD' à BB'.

L’aire proposée sc trouverait ainsi partagée en quatre * parties AMA', A'AB'B, BB'DI)' et DND', qu’on sait évaluer.

Remarquons que si AB et CD avaient une commune mesure qui ne fût pas trop petite, on pourrait calculer directement l’aire A'ABD DB'A', en portant cette commune mesure sur A B et sur CD, et élevant des perpendiculaires à ces lignes par les points de division (590).

2° Si l’on ne peut pas pénétrer dans l’intérieur de la surface à mesurer, on la renfermera dans un rectangle PQItS , dont deux côtés au moins soient tangents à la courbe BMB'N; puis on partagera les deux côtés PQ et RS en un même nombre de parties égales, et par les points de division l’on mènera des parallèles aux deux tangentes PS et QR. Il n’y aura plus qu’à mesurer les parties de ces parallèles comprises entre leur point de départ et l’arc de courbe correspondant, et l’on en déduira facilement les longueurs des portions qui sont comprises dans la courbe, et par suite faire demandée.