I — € COS U
Si, eu effet. Ton a
F(M)=Vc,,E'>«, on aura
\ - e 00s u dl jM il*
On développera alors > -^ Vjp^ en série procédant suivant les
exponentielles E""' et Ton différentiera par rapport à /.
Celte méthode peut être plus a%antageuse que celle du n" 228 si le développement de V{u) sui\ant les exponentielles E'>« est
plus simple que celui de > si par exemple il se réduit
APPLICATION DBS PONCTIONS DE BESSEL. 25
à UQ nombre fini de termes. En particulier nous trouverons les
1» 1 .1 cosu sinu . . . T, %
aeveioppements de > > expressions qui sont liées a cosç'
et à sini' par des relations linéaires (v est l'anomalie vraie).
232. Nous pourrions aussi diiîérentier par rapport à e; il vient
/ du .
(i — ecosM)-j- =sinw.
de
Du développement d'une fonction périodique quelconque ^(u) nous déduirons donc immédiatement celui de
sinM -j— du
I — e cos u
ce qui pourra être utile si le développement de -7- est plus simple
que celui de sinu-i — En particulier on peut calculer de cette
façon
sinu
qui ne di(I*ère de sin^^ que par un facteur constant.
Mais nous pouvons également differeiitier deux ou plusieurs fois par rapport à ly ou au contraire intéj^rer par rapport à /.
Par exemple les équations du mouvement képlérien nous donnent
Or nous connaissons les développements des coordonnées j*,, où le coefficient de chaque terme ne dépend que d'un nombre fini de fonctions de Bessel; Téquation (25) nous donnera donc celui
de -j> chaque terme ne dépendant que d'un nombre fini de fonctions de Bessel. En particulier, si nous prenons les axes du n''229, nous connaîtrons les développements de
X\ cosp rj sini»
V étant l'anomalie vraie.
l6 CHAPITRK XV.
Si nous multiplions chacune des équations ( ao) par x/ et que nous ajoutions, nous trouverons
rf«r« ^^-^ /dxi^ v« M
Comme le second terme du premier membre de (:>-6) est une fonction linéaire de - en vertu de l'équation des forces \i\es, Téquation (26) nous apprend qu'il v a une relation linéaire
entre - et —nr-
r ai*
Or l'équation (^4^ nous donne le déxeloppement de -; ntais
possédons donc celui de-^^» d'où, par une double intéjçration,
celui de r-. Nous avons donc les développements de r, - ei r^.
L'équation de l'ellipse en coordonnées polaires nous donne
e cos V = I ,
er* cosr = «m — «•- »r — r*.
Des développements de -» /* el r- nous déduirons donc ceux
de cosi' et r-cosc. Nous avions d'ailleurs expli4|ué plus liaut la
façon de dé\elopper cosr.
Tous les développements doni il \ienl déire question sont tels
que chaque terme ne dépend que d'un nouihiv fini des fonctions
de Bessel. Inutile d'ajouter que. par l'emploi des relations ( -), (i^)
el ^2), on peut s'arranger pour que chaque terme ne contienne
plus que
J^\me\ et J^\mfï.
!i33. Nous pourrions nous proposer de déxeiopper les coordonnées en fonction des éléments canonique>
Lj« a, S« (O. ^,
Si nous nous reportons aux formules l'l.')^ et \'àS fns) nous verrons qu'il suffit pour cela de dé\ol«^pper les exponeulielJes K""', les expressions
{•}-;) rtcos»-, ^•"E="«J!'^, iiuis*-K«'^. iaiiff-«'"''\
•1 -ji »
APPLICATION DBS FONCTIONS DE BKSSEL. 27
et enfin la fonction
I^es exponentielles E""^ sont directement exprimées par les éléments canoniques, les expressions (27) se réduisent respectivement à
' — ?t * ^'Ji ' -^.L — 9.p,-p,' v^aL — 2p, — p/
en faisant abstraction de facteurs constants.
Quant à K.,„ il est développahle suivant les puissances croissantes de
et le développement se déduit aisément de celui des fonctions de Bessel. Je n^nsisterai pas davantage sur ces points, me bornant à reu\oyer aux n"* 60 à 69 du Tome 1***".
23i. Nous observerons maintenant que si e est très petit le premier terme de chaque fonction de Bessel sera plus considérable que tous les autres. iNous pourrons nous borner alors à ce terme si nous nous plaçtms au point de vue du n" 216. En partant des formules (i()) et remplaçant chaque fonction de Bessel par son déveh)ppement, nous trouvons
( ^8 ) IV/'« -- > — ôi fil ( ) K'""»
Jkd /lï p ! /n /9 -H p ! \ 2 /
et en réduisant chaque fonction de Bessel à son premier terme
m \ JL I m — p\ Jimi m\ '1 / p — m !
Sous le premier sif*;ne 7 on doit donner à m toutes les valeurs
entières telles que m — p soit positif ou nul, et sous le second
signe 2. t<^"tes les valeurs telles que m — p soit négatif.
Mais nous devons observer que l'approximation relative avec laquelle chaque fonction de Bessel est ainsi représentée est d'au-
tant plus faible que Tordre de cette fonction est plus élevé. Et en efiet le rapport du second terme au premier s'écrit (m — p étant positif, par exemple)
me
II est très petit si e est très petit et m fini ; mais, quel que soit ^, il croît indéfiniment avec m. Pour les termes d'ordre un peu élevé, on obtiendrait une bien meilleure approximation en remplaçant les fonctions de Bessel par leur valeur approchée du n** 225.
235. Le développement (28) et les développements analogues procèdent suivant les puissances de e et les exponentielles E""'. Si nous les ordonnons d'abord suivant les exponentielles E""', le coefticienl de chaque terme, étant une fonction de Bessel, pourra être développé suivant les puissances de e en une série toujours convergente; de plus, dès qu*on aura calculé les coefficients des dilVérents termes de la série de Fourier, cette série elle-même sera toujours convergente.
Avec cette façon d'ordonner les termes, la convergence est donc assun^e, mais il n'en est plus de même si Ton ordonne d^abord suivant les puissances de e, le coeflîcienl de chaque terme étant lui-même une fonction de /, Nous sommes donc amenés à nous poser la question suivante :
Nous a\ons une fonction quelconque de u. dépendant par conséquent de r» et de /, nous la développons selon les puissances de c; quel est le ravon de couxergence de la série, c'est-à-dire la valeur maximum de '<»j pour laquelle la série conxerge? Cette valeur dépend é\idemment de /et je puis la désigner par ^1 /K Si alors M est la plus petite valeur de ^«/», quand / prend toutes les valeurs rfv/Zf'x possibles, la convergence de la série sera assurée tant quee ne surpassera j>as M,
Pour calculer s» /^ et M, nous allons appliquer le théorème de C-auohv, Pour iiue la série cesse d'être convercente, il faut et il su tilt que la fonction cesse d'être holomorphe. Or nous avons
