APPLICATION 0K6 FONCTIONS DE BE88BL
ce qui montre que u (et en général toute fonction de u) cesse d'être une fonction uniforme de e et de / pour
COSIi
En combinant Téquation (3o) avec celle de Kepler, on trouve (3i) u — tangu = /.
Les équations (3o) et (3i) définissent e et sa valeur absolue | e \ en fonction de / et la plus petite des déterminations de cette valeur absolue est cp(/).
Remarquons que f (/) est le même en général pour toule fonction F(«); il n'y aurait d'exception que si la dérivée -j- s'annulait
précisément pour la valeur de u qui satisfait à l'équation (3i). Cela nous permettra de raisonner sur une fonction F(a) quelconque, il nous suffira que la condition d'exception ne soit pas remplie.
236. U s'agit maintenant de déterminer la valeur de / pour laquelle <p(/) atteint son minimum M. A cet effet je reprends la formule (28) et j'obtiens en la difTérentiant par rapport à /
1 — e ces u Jmà ^\ m — p -{- ^\ \ 'X J '
Cette fonction ne se trouve pas dans le cas d'exception signalé à la fin du numéro précédent, car, quand on a
\ — e ces a = o,
sa dérivée ne s'annule pas et devient au contraire infinie.
Les équations (3o) et (3i) ne changent pas quand on y change «, / et e en « -f- it, /-+- ti, — e) il suit de là que les valeurs critiques de e qui correspondent à / et à l-^-tz ont même valeur absolue ç(/) =çp(/-h'rt), mais sont égales et de signe contraire.
Supposons donc que pour une valeur réelle /| de l et pour une valeur quelconque de e que j'appelle 'e» la série (32) diverge, il en sera de même quand nous changerons /| en /i-h'rtj et il en sera encore de même de la somme
*(/i)-h*(/i-+-ic).
3o CHAPITRR XV. '
Considérons, en effet, ^(i) comme une fonction de e el de / et faisons-y 1= i^; cette fonction présentera un point singulier pour
et n'en aura pas pour e = — e'; car, si Ton change e en — e dans les équations f3o) et (3i), / se change en it di /qui est différent de /
sauf pour / = - •
La fonction ^(/|-h'îî) présentera de même un point singulier pour e = — e et n'en aura pas pour e = e' et la somme
présentera deux points singuliers e = e', c = — e\ et, ces points singuliers étant distincts, les singularités correspondantes ne pourront se détruire. Donc cette somme divergera pour ^ = c,. Je puis donc écrire
où Ton ne d<mne à m que des valeurs paires.
II résulte de ce qui précède que la série W(/,, t',) diverge. Passons de cette série à la suivante :
où Ton remplace Tanomalie moyenne par - et l'excentricité par i
multiplié par la valeur absolue de <?, qui est essentiellement réelle el positive.
Si dans le dernier membre de l'équation ('M\) nous faisons cette substitution, la valeur absohie de chaque terme demeurera la même; mais tous les termes vont devenir positifs ou tout au moins avoir même argument (en supposant que le nombre/? soit pair, ce que nous pouvons faire). Kn elfet, le dénominateur est essentiellement positif, l'argument de ( — i)^ est JÏtî; celui de
est nul si m el p sont pairs couime nous le supposons; celui de
{i\ei\)"' f-^^^
APPLICATION DES PONCTIONS DK BESSEL. 3l
sera
{m— p)^ -h^Tz,
ct'liii de E""' sera
L'arjjjiiment résultant sera donc
se
— p- -\- '}. St:
(ou encore — p-y en supprimant un multiple de ai:); il sera donc constant et indépendant <le m et de ^. c. q. f. d.
Si donc la série ^'(/|) diverge, il en sera de même, a fortiori,
dir ^'"1 -M dont les termes ont même valeur absolue, mais avec
un argument constant, au lieu d^avoir un argument variable. Donc
diverge: il doit donc en être ainsi au moins de Tune des deux •ries ^( — -]* <ï>(-j» Mais nous venons de voir que
o{/-t-7r) = tp(7),
«'""est-à-dire que cl>(/-4- ii) diverge si <ï>(/) diverge, et inversement. Si donc Tune des deux séries diverge, elles divergent toutes deux. Donc
diverge. Donc
Or, tout ce que nous avons supposé sur e< c'est que
cette seconde inégalité entraîne donc la précédente, c'est-à-dire
32 CHAPITKK XV.
que
Donc le minimum de cp(/) a lieu pour i = -'
