APPLICATION OKS FONCTIONS OB BE89KL

et de la mettre ainsi sous la forme

Les principes des deux numéros précédents nous donneront

(17) A.,n=^^^pint-p{me),

pour m^o et

(18) Ao=Bo-f(B,-+-B,),

pour /w = o.

Inutile d^ajouter qu'en partant de l'identité

en y remplaçant les trois exponentielles par leurs développements et en identifiant les deux développements, on arrive à un grand nombre de relations où le premier membre est une fonction de Bessel et le second membre une série dont tous les termes sont des produits de fonctions de Bessel.

229. Grâce aux formules (17) et (18) du numéro précédent, le développement d'une fonction quelconque de u suivant les puissances de E'' se déduit aisément du développement suivant les puissances de E'"; or la plupart des fonctions intéressantes relatives au mouvement elliptique s'expriment très simplement à l'aide de £'«.

Supposons d'abord que nous prenions pour plan des X\X^ le plan de l'orbite et pour axe des x^ le grand axe, nous aurons

ar, = a ( cos M — e ) = — ae -+- - E'« H- - E-^«*,

a?,= a/i — éî«sinw = — V» — «* ( E"* — E-'« ),

r = /a'J-f- x\ = a ( I — e cos u ).

L'application des formules (17) et (iH) nous donne

aa CHAPITRB XV.

avec

A/«= [J,„i(m<f) — J,„^-i(me)],

J \ gî

(19) k!^= ^^-j-—{i,n.x{rne^-^} maxime)],

Ao = » Aq = o.

Les formules de récurrence (7) et (9) nous permettent d'écrire

A,«= -— JmC'»*^)»

Nous trouverions de même

Sous le signe ^, l'indice m prend toutes les valeurs entières

positives et négatives, à l'exception de la valeur o. Cette formule se déduit immédiatement de la relation

r = a{i — e^) — ex^.

Nous pourrions écrire également

Xi-hixt E''^ . j -V E »«/ > -X

— i=— en 0-+- V « — <?*)-^ (1— VI — <îv,

-î i=^^H /,|^i eîJH (i — /i — «*),

d'où l'on déduirait par les formules (17) et (18) les développements de Xi± 1X2.

230. Reportons-nous maintenant au n" 63 et aux quantités que nous y avons appelées X et Y; nous voyons que l'on aura

et par conséquent, par application des formules (17) et (18),

i x^iY=->l^E-^v^g(.-^/r^r^)y^--*-»^^^^Ë'(^-tu

2 ^Êâ 'im

APPLICATION DES FONCTIONS DE BESSRL. iS

On en déduirait le développement de X — i\ en changeant i en — I, et par conséquent les développements de X et de Y.

Sup[)osons maintenant que nous rapportions notre système à des aiLCs quelconques; les quantités auxiliaires X et Y seront toujours définies comme au n" 63 et leur développement en fonction des variables a, e et / ne changera pas. Quant aux coordonnées rectangulaires rapportées aux nouveaux axes, elles seront liées à X et Y par les équations (12) du n" 63, t. 1, p. 79.

Ces formules peuvent aussi s'écrire

( a-,-+-r.r,= cos2i(X-+-«Y)EAH-sin«-(X-tY)E iO.-i^)

/ .r, = partie imag. de — — ( X -h i Y ) E'^^-®'.

J'ai remplacé la lettre i des formules du n" 63, qui représentait rinclinaison, par la lettre J, afin d'éviter toute confusion

avec i = y/ — i ; on obtiendrait Texpression àe x^ — ix^ en changeant i en — i.

En rapprochant les formules (21) et (22) on trouve

j r jg

Xi -+- ixt = a cos« - I — ^ — E't<*'-^^'

J'ai écrit pour abréger e^ et e^ au Heu de i-|-\/i— /?^ et

de I — y/ 1 — e^. L'argument des fonctions de Bessel J^.^ et im^\ esl égal à me.

On trouve de même

., / . V asinJr 3c . v? sin( m/ -»-£') ^ . . 1

{x\his^ ar3= sin^ H- > 2-^(£|J,/, 1— e,J,„^.i) .

x [^ '}. md L\m J

231. Les développements obtenus par la méthode du n^ 228 ne sont pas les seuls que l'on puisse imaginer. Supposons par

exemple que Ton veuille développer

du I

dl \ — e cos u

On pourrait évidemment développer en série de Fourier

et appliquer ensuite la méthode du n^ 228; mais il y a quelque

chose de beaucoup plus simple.

Nous avons

a = / + e sinu,

ou, en se reportant au développement de x^ au n** 229 et à la formule (20),

ou, en difTérentiant,

Ce développement nous donne en même temps celui de

/• ad — e cos M)

Plus généralement, cela nous donne le moyen de développer les expressions de la forme

Fin)