Considérons maintenant une fonction périodique quel

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALGfi DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 39

conque

des deux anomalies excentriques u et u'; elle peut se développer ea «érie de Fourier sous la forme

(8) ^Bp„Ei^P'^-*-p''^'\

les p et les p' étant des entiers positifs ou négatifs, mais on peut aussi la développer en série de Fourier procédant suivant les anomalies moyennes l et /' sous la forme

Il s'agit de savoir quelles relations il y a entre les coefficients des deux séries (8) et (9). Ces coefficients nous sont donnés Tun et l'autre par des intégrales définies

(10) 4Tf«Bpp'=5 r rF.E-'t/'»-*-/"»>û?urfii' et

(11) 4Tt*A,«,„= f f¥.E"i^^n/^'^r)dldl,

Les intégrales doivent être prises entre les limites o et 27î, tant pour u et e/' que pour / et /'.

Nous transformerons la formule (11) par une double intégration par parties.

Nous pouvons poser :

avec

~ dl dV '

mm!

Nous trouvons alors, en intégrant par parties par rapport à u et, en intégrant encore par parties par rapport à e/' et à /',

4o CHAPITRE XVI.

il vient donc

- 4Tr»A,„,„'mm'= T ^ ^!|L E-'i'"/-^'"'/'> du du'.

Or, du développement de F sous la forme (8), nous pourrons déduire

dudu' " Zd^P^i'f'^ '^ ' d^où, en tenant compte de Téquation de Kepler,

où

û = t ( me sin u -h m'e' sin w' ),

et où e et 6' désignent bien entendu les deux excentricités.

Le coefficient de pp'Bpp' est une intégrale double qui peut' se décomposer en le produit de deux intégrales simples

JE^^P -'"^« K""** »'"" du jE'^P'-f^'^*^' E""'«' •'•>"' du\

c'est-à-dire

^it*im-p(rne)}„t'-p'(fn'e').

Nous avons donc la formule

(12) A ^„. = y\-^^Bp^' },„-,,( me )}m'-p'('n'e'),

mmà mm,

tout à fait analogue à la formule (17 ) du Chapitre précédent. Cette formule est due à M. Baillant.

241. Cette formule se trouve en défaut quand m ou m' sont nuls. Mais elle peut dans ce cas être modifiée et transformée en une autre analogue à la formule (18) du Chapitre précédent.

Nous avons

F(w, u')=\Bpp'Ei^P**'^P'**'\ d'autre part nous avons