ONCTION PERTURBATRICE

PBOPHlèrÉS GÉNÉRALES DE LA VONCT.O ^^^ ^^ ^^^^

QAUTHIER-VILLARS & C*

Imprimeura-^Édlteurs 55, Quai des Qrands-Augustins, PARIS (6«)

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Cours

de Mécanique céleste

PAR

M.-H. ANDOTER

Membre de riostitut ot du Bureau des Longitudes Professeur à la Faculté dos Sciences de Paris

Un volume in-8 raisin de 44^ pages. Tome I, i9->.3 50 fr.

Préface

I^ présent Ouvrage esl le développement des leçons que je consacre chaque année, pendant un semestre, depuis 191?., à l'enseignement de la Mécanique céleste. J'ai pleine conscience de la témérité de mon entreprise, venant après les travaux de F. Tisserand et de II. Poincaré. Il m'a paru cependant qu'il f avait encore place pour un Ouvrage, intermédiaire en quelque sorte, entre le Traité de Tisserand et les profondes recherches de Poincaré, dans lequel seraient exposées, de la façon la plus simple, mais en même temps la plus complète, les solutions pratiques que donne TAstronomie aux problèmes réels de la Mécanique céleste. C'est un tel Livre que j'ai tenté d'écrire, m'adressant aux astronomes pialicieng, et plus précisément encore aux astronomes calculateurs ; et, pour faciliter leur t&che, je. me suis attaché pre que exclusivement à développer, avec tous les détails nécessaires, les méthodes qui conduisent aux calculs les plus simples et les plus silrs, en les illustrant toujours par des exemples numériques empruntés à la réalité.

Je me suis borné à l'étude de quelques problèmes fondamentaux; mais, parmi eux, j'ai compris ceux qui font l'objet do ce que Ton appelle souvent ailleurs V Astronomie théorùjue, c'est à-dire ceux qui se posent à l'occasion de Ih théorie de la déterminaiion des orbites des petites planètes et des comètes ; ils appartiennent vraiment en efîel au domaine de la Mécanique céleste, comme je l'envisage iri, et on les rencontre trop fréquemment pour qu il m'ait été possible de ne pas les traiter complètement.

En aucun cas je ne me suis cru obligé de présenier les solutions des l>rpblèmes sous la forme môme qui leur a été donnée par leurs premiers auteurs ; mais j'ai pris la liberté de les modifier toutes les fois qu'une amélioration me semblait en résulter; et, comme il s'agit d'un Ouvrage

didactique, j'ai conslammenl dirigé mes efforts vers une exposition systématique, malgré ia diversiic des méthodes imposées par la diversité des circoustances.

L'Ouvrage comprend deux Volumes, et est divine en six Livres d'étt-ndue . très inégale. Ddns le premier Livre, je définis les problèmes à étudier, et j'expose les» principes généraux qui doivent conduire à leur solution. Le second est consacré à Téiude pratique complète du mouvement képlérien et de ses perturbations. On trouvera dans le Livre III la théorie des planètes, c'est-à-dire l'élude analytique générale des perturbations, lorsqu'elles sont développables sous la lorme simple qui convient en parlîculier dans 1h cas des grosses planètes.

Les livres IV, V, Vi, contiennent respectivement la théorie de la Lune, celle du mouvement de la Terre et de la Lune autour de leurs centres de

fravité, et enfin la théorie des anciens satellites de Jupiter. M. Â. Lamert a bien voulu m'aider dans la revision des épreuves : je suis heureux de lui dire ici toute ma reconnaissance. Je dois aussi mes remerciements a la Maison Gauthier- Villars, dont les soins ont assuré la parfaite exécution typographique de cet Ouvrage. H. Anooyer.

Table des Matières

LIVRE I : Les problèmes généraux de la Mécanique céleste. — Chap. I : Définition et réduction des problèmes géitêraiix de la. Mécanique céleste. — Chap. II : Equations canoniques. Changement de variables. Méihode de la variation des constantes. Théorèmes généraux. — Cuap. III : Mouvement d'un point matériel. — Chap. IV : Mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe. — LIVRE II : Etude pratique du mouvement képlerien et des perturbations — Chap. V : Détermination des positions hélioce triques et géocentriques. — Chap. VI : Problèmes divers relatifs à la détermination des orbites képlérit nncs. — Chap. VII : Détermination d'une orbiie képlérienne par trois observations rapprochées. — Cuap, VIIl : Détermination d'une orbite képlérienne par trois observations quelconques, eu partant d'une solution approchée. — Chap. IX : Détermination d'une orbite képlérieone par un nombre quelconque d'observations. Méthode des moindres carrés. — Chap.X : Théorie de Tinterpolaiion. — Chap. XI : Calcul numérique des perturbations du mouvement képléricn. — LIVRE III : Théorie des planètes. — Chap. XII : Développements en série» relatifs au mouvement képlerien elliptique. — Chap. XIII : Développement analytique de ia fonction perturbatrice.

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exemplaire de l'Ouvrage intitulé :

Cours de Mécanique céleste, par M.-H. ANDOYER

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731U-24. — Paris, Tmp. Gauthier-Villars et C**, 55. quai des GraBds-AugusiÎDS

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA FONCTION PERTURBATRICE. ^l

formule dans laquelle on doit, pour m = o, remplacer le coefficient ^im-p par I pour/? = o, par — - pour /? = ±: i , par o dans tous les autres cas. De même on a

avec la même convention pour le cas de m!= o.

On en déduit, en remplaçant E'/"* et E^p'"^ par ces valeurs dans le développement de F(u, w'),

Nçus retrouvons ainsi la formule (12) pour le cas où m et m' sont différents de zéro. Cette formule peut s'écrire sous forme de produit symbolique

en convenant de remplacer le produit symbolique B^B^. par B^^'. On trouve de même sous forme de produits symboliques

1 Ao„r= [Bo- J(B,-f. B,)] {^^^-^'-P'^pj^

(I3) < ^n.o^(^^^hn-pB,j^B'o--^{h\^B\)^,

Aoo =[Bo-|(B,-hB,)] [Bi-^'(B;-f-Bl,)], formules analogues à la formule (18) du Chapitre précédent.

242. Supposons par exemple qu'il s'agisse de développer la partie principale de la fonction perturbatrice, c'est-à-dire la fonction

du n° 238.

Nous observons que

4a CHAPITRE XVI.

se présente sous la forme d'un polynôme du deuxième degré par rapport aux exponentielles

u étant Fanomalie excentrique relative à la première planète et u' l'anomalie excentrique relative à la deuxième planète. Et, en eflTet, a?j, a?2, JÎ3 sont des polynômes du premier degré en E'", E""'" et x'^y Xj, x\ sont des polynômes du premier degré en E"*', E~"*'. En examinant de plus près, nous voyons que ce polynôme contiendra seulement un terme tout connu et des termes en

en tout treize termes. Nous étudierons plus loin ce polynôme plus en détail; mais, pour le moment, observons que si l'on fait

l'expression x^y'^^,^ deviendra un polynôme entier du sixième degré en x et^ que l'on peut appeler R(j7, y), d'où

La formule (10), si l'on y fait F= - 1 devient alors

<.4, -4.-B„=// ,^^. =//,-;;^fe.

ce qui montre que Bpp' est exprimé par une intégrale double définie dépendant de la racine carrée du polynôme entier R. Seulement les valeurs que l'on doit donner à x et à ^ sont imaginaires ; on doit faire varier l'une et l'autre de ces deux variables le loag d'un cercle de rayon i ayant pour centre l'origine.

On peut aussi exprimer le coefficient Amm' par une intégrale définie, mais cette intégrale est plus compliquée. Nous avons trouvé en effet

— 4ir* mm' k,nm' = f f ^^' E-'t"»/-*-/»'/') du du\ et l'intégrale double peut s'écrire

dx dy x'^y'*