PROPRIÉTÉS GÉNÉRA LK8 DK LA FONCTION PERTURBATRICE

OÙ Û a le même sens qu'au n** 240 et s'écrit

La dérivée seconde de - serait encore égale à une fonction rationnelle de X et de 7 divisée par y/R(a?, y), mais il vaut mieux partir directement de la formule (i i) en remarquant que

On trouve ainsi

r r QE^dxdv (i>) — 4it»Ay„„= / / — , . -^ =y

SLvec

Seulement ici l'intégrale (i5) est beaucoup plus compliquée que

rintégrale (i4) parce que la fonction sous le signe / n'est plus

algébrique, mais contient l'exponentielle E^. On voit pour quelle raison le développement suivant les anomalies moyennes est plus compliqué que le développement suivant les anomalies excentriques.

243. Il y a deux cas particuliers sur lesquels nous reviendrons plus loin en détail, mais dont je voudrais dès maintenant dire quelques mots.

C'est d'abord celui où les excentricités sont nulles. Dans ce cas il n'y a plus à faire de distinctions entre les anomalies moyennes «t les anomalies excentriques, et l'on a û = o ; de plus l'origine de ces anomalies devient arbitraire et nous pouvons les compter à partir de la ligne des nœuds. Nous trouvons alors

A^ = a* -+- a* — 2 aa' cos a, où ff désigne l'angle des deux rayons vecteurs, ou bien

A*= a*-l-a'*— 2aa' ces*- cos(a — a') — aaa' sin* - cos (tt -h u'),

OU bien enfin

( R{x, y) = a;y\(a*-^ a'* ) xy — aa' cos^ - (x -^ jr)

[ — aa'sin«-(a:'^*-4- i) I

244. Le second cas est celui où l'inclinaison mutuelle des deux orbites est nulle; on peut alors choisir les axes de coordonnées de telle sorte que

d'où

On voit ainsi que R(J7, y) est le produit de deux polynômes entiers du troisième degré

Le premier de ces deux polynômes K.2{x,y) contient seulement des termes en

x^y, xy^, xy, x et y.

Les deux courbes du troisième degré

Rj = o, Ri = o

passent par l'origine et ont des points à l'infini communs; elles se coupent en outre en 4 poinls dont il est aisé d'interpréter la signification.

A chaque point M de la première orbite correspond une valeur de u et par conséquent une valeur de jc; à chaque point M' de la deuxième orbite correspond une valeur de u' et par conséquent une valeur de y. L'équation R, = o exprime que la droite MM' a pour coefficient angulaire i] l'équalion R2=o signifie que MM' a pour coefficient angulaire — i.

Les quatre intersections des deux courbes du troisième degré R, = R2=o correspondent aux quatre intersections (généralement imaginaires) des deux orbites elliptiques.

Si l'on suppose que y et par conséquent M' soient données, l'équation R, = o est une équation du deuxième degré en x] cela s'explique parce que la droite de coefficient angulaire i qui passe

PROPRléréS GÉNÉRALES DB LA FONCTION PERTURBATRICE. 4^

par M' coupe la première orbite elliptique en deux points Met M|, Les deux points M et M| se confondent, de sorte que Téquation R, = o a deux racines égales et que l'on a

toutes les fois que la droite MM' est tangente à la première orbite elliptique; cette tangente à Tellipse ayant pour coefficient angulaire -h I passe alors par Tun des deux foyers de la deuxième orbite elliptique.

De même, si la droite MM' passe par l'un des deux foyers de la deuxième orbite elliptique, on a

dy '~

Mais les deux ellipses ont un foyer commun qui est l'origine. Pour la droite MM' correspondante, on a

ce qui (en regardant x et ^j comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans un plan) montre que la courbe du troisième degré R, = G (de même que la courbe R2= o) a un point double. Pour R, = o, ce point double est

T = -pz^z^ » y =

et pour Ra= o

ip= . > y=-

S^io. Nous avons vu au n"238 que le calcul de la partie complémentaire de la fonction perturbatrice se déduisait aisément de celui de la partie principale. Mais il y a mieux à faire, car le premier de ces calculs est beaucoup plus aisé que le second, de sorte qu'il est préférable de le faire directement.

x\ous avons vu au n" 239 que, si l'on pose

46 CHAPITM XVI.

les trois formes de la partie complémentaire, auxquelles on est conduit si l'on adopte les variables des n** 26 et 44, sont respectivement proportionnelles aux trois dérivées secondes de V.

Cherchons donc à développer ^ et pour commencer étudions le développement de W suivant les exponentielles £'>«*+"■'>'"'; il sera aisé d'en déduire ensuite par le moj'en de la formule (12) le développement procédant suivant les exponentielles E""'"*^"*'^.

Or x\j ar'j, jt^ sont des polynômes du premier degré en E***», jf'j, j^j, Xg sont des polynômes du premier degré en E***'. Donc W est un polynôme de premier degré en E"^" d'une part, en E'*=**' d'autre part, de sorte que le développement de W suivant les exponentielles £'>"■*■*>'"' se composera de neuf termes seulement.

Il résulte de là que, si l'on applique la formule (i 2) au développement de W suivant les exponentielles E""'"*'""''', chaque coefficient Amm' dépendra seulement d'un nombre fini de fonctions de Bessel. On peut donc, en se servant des relations de récurrence entre ces fonctions de Bessel, ramener ce coefficient à ne plus dépendre que des transcendantes

im(me), y,„{me), J,„'(m'c'), J^C/n'c').

246. Hansen prend pour variable indépendante l'anomalie excentrique u de l'une des planètes; supposons alors qu'il ait développé la fonction perturbatrice, ou l'une de ses dérivées, ou l'une des composantes de la force perturbatrice sous la forme

nous avons

/ = li — e sinu,

l' = u* -h e' sinu'.

D'autre part, dans la fonction perturbatrice dont tous les termes contiennent en facteur la masse perturbatrice, nous pouvons, en négligeant le carré de cette masse, appliquer les formules du mouvement képlérien. Alors / et /' sont des fonctions linéaires du temps et sont par conséquent liées par une relation linéaire. J'écris

/' = kl -^ s, k étant le rapport des moyens mouvements et e une constante.

raoraiÉTBS 6BNBRALBS OB LA PONCTION PBRTURBATRICB. 4?

J'ai alors

/' = Ara H- e — ke sin a,

ou en posant

Mj = A:a -f- £,

V ■= ui — ke sin a,

et enfin

Ml = u' — e' sin u' -^ ke sin a.

Proposons-nous de développer F sous la forme

Il viendra

— 4tc«A,„,„'= r j FE'-'^^**-^^'*^i^ du dut,

ou en intégrant par parties par rapport à 2/| et à u!j c'est-à-dire comme si u était une constante,

Mais

d'où

— 47c« A,„,„' = f fS ^ Bp,/F«A'«+p'«'>E-«'««+"«'«.J du du\

Mais le produit des deux exponentielles sous le signe / peut s'écrire

On trouve donc finalement

(i6') Knm —^^~,^pp'^ in-iA — km' e) l,n-^p{ m! e').

247. Gyldén cherche à développer la fonction perturbatrice non plus en fonction des anomalies moyennes, ni en fonction <les anomalies excentriques, mais en fonction des anomalies vraies. Si V et v' sont les deux anomalies vraies et qu'on veuille développer la fonction F sous la forme