Si nous posons
nous vojons que F ne change pas, ni par conséquent F~' quand on change 3 en -• Or cela revient à changer A* en — A^; on a donc
D'autre part changer k en — k cela revient à changer i en — i\ l'égalité précédente montre que les coefficients ne changent pas quand on change / en — z, nos coefficients sont donc réels, et nous pouvons écrire
( -2 ) F -*• = 6J -4- -2 y b^J"^ COS /i( / — /').
Il y a entre les coefficients de Laplace certaines relations de récurrence qui en facilitent le calcul et qu'il est aisé de déduire de l'identité
Nous avons identiquement
d¥ ^ dF s
ou
LES COEFFICIENTS DE LAPLACB. 5l
d'où en égalant à zéro le coefticient de 3*"' :
d'où la relation de récurrence Nous avons ensuite
ou
ou en égalant à zéro le coefficient de z^ :
(6) 6i^-^ = (i H- a«) 6i*\ - «(6i*V^-+- ^iil'O.
relation de récurrence qui permettrait de passer des 6,^| aux 6,; mais il serait préférable de chercher une relation de récurrence permettant de passer des bg aux 6,+|. Nous pouvons prendre deux relations (6) consécutives qui nous donneront deux équations entre 6f , 6;*^'^ et les quatre inconnues bH , fr/^, , b'Jl^,'\ è;*^'. D'autre part les relations (5) nous fournissent deux autres relations entre ces quatre inconnues. Nous pouvons donc déterminer ces quatre inconnues en fonction de bf\ b^^'^^K
Pour arriver directement au même résultat, nous partirons de l'identité
(7) 5FP + 5«^Q = i,
où P et Q sont des polynômes du premier degré; il est facile d'établir cette identité et de déterminer les polynômes P et Q. Cela posé, nous pouvons observer que les coefficients de la série (3) peuvent être établis par la formule de Fourier :
F -*z^-i dz.
L'intégration doit être prise, j)ar rapport à / — /', depuis o jusqu'à 9.7: et par conséquent par rapporta z le long d'un cercle de rayon (i).
52 CHAPITRE Wll.
En vertu de Fidentilé (7), nous pouvons multiplier la fonction
sous le signe / par le premier membre de cette identité, ce qui donne
Nous pouvons transformer la seconde intégrale par une intégration par parties, en observant que, l'intégration se faisant le long d'une ligne fermée, nous pouvons laisser de côté la partie qui
sort du signe / et qui prend la même valeur aux deux limites.
Notre intégrale devient ainsi :
Mais il est clair que
p-^r!rT[(*-^')Q-^'S]
est un polynôme du premier degré en z ; soit ce polynôme, notre équation devient
d'où
C'est la relation de récurrence cherchée.
Grâce aux relations de récurrence (5), (6) et (8), le calcul des coefficients de Laplace peut être ramené à celui de deux quelconques d'entre eux, par exemple
