Considérons maintenant la dérivée

doL

LES C0EPPIC1RNT8 DR LAPLACE. 53

En dlfférentiant la formule (8) sous le signe / , il vient :

. rfô/ï I

TLITZ —

= i r F-* ifs-h'-io^ z^ » dz,

doi d'où

ce qui permet d'exprimer les dérivées des 6, en fonction des 6,4.1 et par conséquent en fonction des 6,.

Nous pourrons donc finalement, par ce moyen, exprimer la dé-

rivée —^ en fonction de 6^, 6], sous la forme (.0) ^=P6o^Q6|,

P et Q étant des fonctions rationnelles en a.

En différentiant la relation (10), nons trouvons :

dTfl \ doL \ di di doL ^

de sorte que la dérivée seconde est exprimée en fonction de 6J, b\

et de leurs dérivées premières, et peut par conséquent, par une nouvelle application de la formule (10), être exprimée en fonction de 6" et h\ seulement.

On opérerait de même pour les dérivées d'ordre supérieur. 2oI. Nous avons

Or la formule du binôme nous donne

(i — a^)-*= i-hsoLZ-h -^ -'a«zî-h...

ou plus généralement

^ ^dr(s)V{p-hi)

54 CHAPITHE XVII.

OÙ r représente la fonction eulérîenne. De même

OU, par multiplication,

„ V^ Vis -^ p)V{s -\-q)

^VHs)V{p-hi)r{q-hl)

ce qui nous donne pour le coefficient de -s* :

^ ' ' ÂmiY^{s)V(q -^\)V{q -\- k ^i) '

formule qui donne le développement des coefficients de Laplacc suivant les puissances croissantes de a. Nous remarquerons tout d'abord que 6^*^ est divisible par a*, et que c'est une fonction paire ou impaire de a suivant que A' est pair ou impair.

Rapprochons la série (i i) de la série hypergéométrique de Gauss. Cette série s'écrit :

La comparaison nous donne immédiatement

252. On sait que la série hypergéométrique de Gauss satisfait à une équation linéaire du second ordre, il doit en être de même de U^\ C'est en effet ce qu'il est aisé de vérifier. Nous voyons en effet que dans la série (i i) le rapport du terme général au précédent est

qiq-^k)

Si donc j'appelle C^ le coefficient de a^+'-^v, nous aurons

r/(y-4-A')C^=(5-|-gr — i)(5-hy-HA- — i)C,,,,

d'où