LES COEFFICIENTS DE LAPLACE

Or, si nous observons que et que de même

si nous remarquons de plus que les coefficients du premier et du second membre de (19.) qui sont (/(</ H- /r), {s -{- q — \)[s -^ q -{- k — i) sonl des polynômes du second degré en q et par conséquent peuvent s'exprimer linéairement, le premier à l'aide de

I, 2gr-4-A:, {iq -^ k){iq -k- k — \)^

le second à l'aide de

les coefficients ne dépendant que de k et de .v, nous verrons qu'il y a une relation linéaire entre les six quantités

db dtb ,^ db ^d>b

doL aa* d% aa*

relation dont les coefficients ne dépendent que de k et s. C'est l'équation différentielle cherchée.

J'ai supprimé pour abréger les indices s et k de b'^^\

Cette équation s'écrit

(i3) (aî-a^)^-f-|a-(45H-i)a5]^ - [45*Qt«-+- A:«(i - ««)] 6 = o.

Elle peut nous indiquer comment se comporte la série (i i) pour les valeurs de a voisines de i . Les méthodes de Fuchs nous

apprennent en effet que les intégrales de cette équation ne peuvent

d'^b présenter de singularité que quand le coefficient de -j-^ s'annule.

c'est-à-dire pour

Pour a = o, les racines de l'équation déterminante sont ± A*, ce qui veut dire que l'équation admet une intégrale particulière développable suivant les puissances de a et commençant par un terme en a* (cette intégrale n'est autre chose que la fonction 6^*^ qui nous occupe) et que l'intégrale générale est de la forme

S-hA6i^Moga,

h étant une constante quelconque et S une série procédant suivant les puissances entières croissantes positives ou négatives de a et commençant par un terme en a~*.

Restent les points singuliers a = ±: i ; je me contenterai d'examiner le point a =: -h I ; puisque l'équation différentielle ne change pas quand on change a en — a.

Pour a = -h I , les racines de l'équation déterminante sont o et I — 2s; ce qui montre que, outre une intégrale particulière développable suivant les puissances de a — i , l'intégrale générale est

de la forme

SH-Plog(a — I),

où P et S sont développables suivant les puissances entières croissantes de a — I, le développement commençant pour P par un terme de degré o, pour S par un terme de degré i — 2 5.

Pour 5=-» on a i — 2S:=oetSne devient pas infinie, c'est le

second terme qui est prépondérant, de sorte que 6^*' devient infini

pour a= I de la même manière quelog( a — i). Pour 5=-» -> — >

le terme S devient infini et prépondérant de sorte que 6^*^ devient infini de la même manière que

On voit par là que la série (i i) converge pour

et diverge pour |a|>i. Les résuluts précédents se déduisent d'ailleurs immédiatement des propriétés connues de la série hypergéométrique.