LES COEFFICIENTS DE LA PLACE
253. On a proposé un très grand nombre de procédés de calcul pour les coefficients de Laplace, mais il y en a un qui est très supérieur à lous les autres, c'est celui qui est fondé sur l'emploi des fonctions elliptiques.
Nous savons que la fonction p(u) de Weierstrass est définie par l'équation
où ^1, €-2, e?3 sont trois constantes liées par la relation
avec la condition
Nous savons en outre qu'elle satisfait aux conditions
p(u) = p(— u) = p( u -+-2a)i) = p(tt -h aiuj) == p(w -+- -20)3); p(a),) = c,, p(w,) = c„ p(w,) = tf,.
D'autre part la fonction s(")î cjui est telle que
C(a) = -p(a) jouit de la propriété
;(a) = — !:(— a), Ç(M-+-2c«),) = ;(a)-h2r^/, où
7)/= î(a)/), Ti,-hT),-+-T)a=o.
Reprenons l'intégrale
z^ dz
et plus généralement la suivante :
OLz) {z — a)]*
Pour identifier aux formules des fonctions elliptiques, nous devons poser :
5 = p(a) — cj, a=:ei— cj, -=6?i — Cj, ei -h tfj4- «3 = o,
oc
d'oi
OU
(i-a^)(^ — a)= — ïp'«(a),
d'où
/-y^y2ïir6i*>= Ap — 6?3)*->-+^»*p'»-"<fl/
et, en particulier,
2ot. Rappelons une propriété importante des fonctions doublement périodiques : c'est la possibilité de décomposer ces fonctions en éléments simples.
Soit V{u) une fonction doublement périodique, soient a^, a^y . . ., (i,f ses infinis distincts; bien entendu je ne regarde pas comme distincts deux infinis quand ils ne diffèrent que par des multiples des périodes aco/.
Soit (ij Tun de ces infinis qui sera, je suppose, d'ordre /*; développons F(/i) suivant les puissances croissantes de u — aj, et soient
( u — aj )* ( tt — aj )* -1 * * ■ {u — aj)^ ' u — aj
Tensemble des termes de ce développement qui ont un exposant négatif. Posons
r *-i*iM —
(M — Oy),
OÙ v*\w^ rt*préseute la dérivée X'*~* de Z{ti\ par rapport à /i. De cette fin^on la dilféi-ence
rt^ste finie pour u r-r aj^ Mous aurons alors
Vl6^ Fx U) siV*^.^!! ,^ C^
C clant une constante. CV>t col le formule bien connue \ 16 > qui rt^pivsculc Kl doovMuposilion de F. a eu éU-mcnts simples.
r\e\euous aux inlCiiraKs yi |' et • k> : elles doî\ent être prises
de o à jw». Si nous do>îi:uons la fonction m^us le >i;;ne / par
LES COEFFICIENTS DE LAPLACE. Sq
F(w), nous décomposerons F(m) en éléments simples, et nous intégrerons séparément chacun de ces éléments. Parmi ces éléments il y en a qui nous donneront zéro, ce sont les éléments
y;(*U"-«y)rf",
où Ar^2; l'intégrale indéfinie nous donne
qui est (au signe près) la fonction p(u — aj) si A' = 2 et une de ses dérivées si A* > 2. Dans tous les cas ce sera une fonction doublement périodique qui reprendra la même valeur aux deux limites o et 2o>| ; l'intégrale définie est donc nulle. Si A- = i
/ X;{u~aj)du = r^^u — aj),
et l'intégrale définie est Si k = o, on a
/ Ç(m — aj) du = \o%çf {u — «y),
et l'intégrale définie est
/ X loga'(2(i)i — ay)
(^"^ ]og^( -ay) =^^-^-^^.(^^1-^/)'
Nous n'aurons pas d'ailleurs à faire d'application de la formule (17) dans ce Chapitre.
Reste enfin la constante C qui nous donne
/ Cdu = '2 G (1)1.
Dans le cas qui nous occupe, et qui est celui des intégrales (i4) el(i5), la fonction F(w) ne peut devenir infinie qu'avec p{u) ou p'(w), c'est-à-dire pour
U = o, COi, (1)2 ou (1)3,
Go CHAPITRK XVII.
J'ajoute que, pour 5=- [formule (i5)], elle devient infinie
seulement pour m = o.
De plus, l'exposant i — is est pair, et, comme p'^{ii) est une fonction rationnelle de p(w), il en sera de même de l'X«/). Donc F(/i) sera une fonction paire de £/, ainsi que de // — ov
Donc le développement de F(//) suivant les puissances croissantes de a ou de u — w,- ne contiendra que des termes d'ordre pair; il ne contiendra donc pas de terme de degré — i [qui aurait pu donner un éléinenl simple en JJ(i/) ou w(« — co/)] ; et c'est pour celle raison que nous n'aurons pas à faire usage de la formule (17). Nous n^avons pas à nous inquiéter des ternies de degré — 4* — (>, . . •, qui, comme nous Tavons vu, donneraient une intégrale nulle, mais seulement des termes de degré — 2, ainsi que de la constante l^^; nous trouvons ainsi pour notre intégrale
N Aj oiani la somme des coefficients des termes de degré — 2 dans les do\ cloppemonts relatifs aux quatre infinis o, «u,, Wj, Wj.
iXis Ces coolVioîouls C ol A* >onl des fonctions rationnelles de Xx Kn crtVl le dc\oloppemonl de p w 1 ou de p'dii suivant les pxusvuïoos crv^i>>anto> de a o\\ de u — «o» a pour coefficients des fonoUous r^^ùonuoUos de <•,* c**. <*, et, jv^r const'-quenl, de a; il en 0^1 donc de même du vlo\elop[HMueul de
W^xw lou^ u»^> OiV"î^uMCut> V* >^ol Fwil: ^a:ie!> en 1, l\uîxM\x maùtlenuul de O. Nv u> . i<<'r\t'r -as que F non seulement ne |vul doenir 'î\:*.uîe ^uo w.ir .• = o, t.».. to^, Wj. mais ne |vul UxMX ^*u< v\4i\xïxi\'r vjue ;v,;r '. une .ie ce> quatre valeurs de «. U ou iv^v.Uo vj,;v^ F „ Uv- ;v,,; iva> ji.vueltre les quatre infinis uvux vo;/,or.îou\ «uo ;Mî<;e à .ut^v e;,\, v>f c- il e>l d ailleurs aisé xîo \%. ..\iv jK^v*r >v'..o> v^c \V> ^Ua:-v \jL*tur> lour lesquelles elle
LES COEPPICIKNTS DE LAPLACE. 6r
ne devient pas infinie elle s'annulera de sorte que l'on aura (19) o = C ^^(-i)k~i-^t^a--i)(u - ioi)
pour w = o, o),, 0)2, to.-i; et pour to/= o, tUi, Wj, (03. D'ailleurs on n'aura pas // = w/, puisque u est une des valeurs pour lesquelles F s'annule, et o>i une des valeurs pour lesquelles F est infinie. Donc
u — cji>i== (Oj, (Ot ou 0)3 (à une période près).
Mais A* est rationnelle en a. Il en sera de même de Ç^*^(o),), IJ^*^(a>2'), ^'^^(0)3), qui sont des dérivées de p{u) pour a := Wi, 102 ou o>3, et nous venons de rappeler que ces dérivées sont des fonctions rationnelles de e^j ^.,., (?.i et, par conséquent, de a. L'équation (19) montre donc que C est rationnel en a. c. q. f. d.
En particulier nous avons pour
d'où
pour
d'où
J TZyOL
bl= -=
Pour un coefficient 6,** quelconque nous trouverions de même
TyoL
où P et Q sont des fonctions rationnelles de a. On déterminerait aisément ces fonctions rationnelles à l'aide des relations de récurrence du n" 249.
256. 11 reste à calculer tu, et Tj, d'où 6^ et b\ ; pour cela je
renverrai aux formules et propositions pour l'emploi des fondions
6» CH\PITRB XVII.
elliptiques rédigées d'après Weierslrass par M. Schwarz el traduites de l'allemand par M. Padé (Paris, Gauthier-Villars, 1894). Portons-nous à la page ()i. Deux cas sont à distinguer, et d'abord celui où
«1 — ej<C| — «1, c*est-à-dire «< a. a<-^'
Dans ce cas nous poserons
I v^tfi — <?a— y ex — et i— V^i — «' ^«1— ej-h ^ei — en i-i- /i — a*
et alors, en supposant
ce qui est le q de Jacobi, nous aurons
d'où
On calculera h par la formule (20) et Ton trouvera ensuite
-h nA^ — nA'-H
Ce sont les formules ((>), (-^, ^S) de Sclmarz, mais nous ferons
usa«;e pour le calcul de A" de la formule
qui est la formule ^ \\ de Schwarz, el pour le calcul de A* de la fonuule *
qui On! la fonnuliM j ' do Sobuar/.
L£S C0BPPICIISNT8 DB LAPLÀCE. 63
Le second cas est celui où a>-p« On se servira alors des formules (i8) et suivantes de Schwarz et Ton posera
*t= 4y = — »/ = 7=' /ii=Ji
et Ton retrouvera la formule
analogue à (20).
Nous aurons ensuite
(22 hU) i/ r- = — (|^2A}-h...)î
/ita^ 2
(,3, 6o=Jiiei=(^.) /,0g ')!=,
formules (19) de Schwarz. Quant à yji et yj, et par conséquent 6], on les déduira des formules
tri t 33 A? -h
(24) ïi,(D3— (0|Y)3= iri.
On remarquera que (03 et 7)3 sont purement imaginaires.
2o7. il importe de se rendre compte de la rapidité de la convergence; celte rapidité est extrême; en eflet, si a •< — 1 on a
yî-H.
et SI a> -p, on a
/,<^— !-. /ii<E-it.
Suivant le cas, / ou /< sera#<Co,o8; tandis que h ou li^ sera <C 0,04. Or les séries qui procèdent suivant les puissances de h et
