Posons

cos' - = |ji, sin* - = V, l = u — a', 7) = a -h a',

COSd = JICOSÇ H- V COSTQ, J? = E"*, ^ = E"*',

* = -> iv = xy, 2 cos { = .s -H -5""*, 2C0ST1 = tv H- tv->,

Z = F~*= (1 — 0L[iz — QL\iz-^ — avw — a>tw^^-¥- a')-*. P. - II. 5

La formule du polynôme, généralisation de la formule du binôme, nous donne

Z = V A(— ajiz)«(— afx-5-»)/'(— aviv)*^ (av w-»)^ (a^)*

avec

T{i—a'-b—c — d—e — s)V(a-i-\)T{p-hi)r{c-hi)Tiq-hi)T(e-hi)

a, Çy Cy p^ e étant des entiers positifs quelconques et F étant la fonction eulérienne, ou bien encore

(3) Z=^A(-I )a-^P-*-c^q <xa-^p-hc-i-q-^U ^a-\-p y ch-^ ^a-/» wc-q.

Nous voulons développer Z, d'une part, suivant les puissances de a et, d'autre part, suivant les cosinus et les sinus des multiples des anomalies ou, ce qui revient au même, suivant les puissances positives et négatives de z et de w. Nous chercherons donc le coefficient de

où m est entier positif, h et k entiers positifs ou négatifs. Nous ferons donc

L'exposant a-^ p de u est plus grand en valeur absolue que h et en diffère d'un nombre pair; l'exposant c -h q de v est plus grand en valeur absolue que k et en diflere d'un nombre pair. La somme de ces deux exposants est plus petite que m et en diffère d'un nombre pair. Le coefficient cherché est donc un polynôme entier en [jl^ et v*' de degré

m-\h\-{k\ multiplié par le facteur

Nous observerons en effet que

Supposons d'abord h et k positifs de façon que /i = | A |, A" = | Ar | et formons le polynôme P en question de sorte que le coefficient cherché soit

Faisons donc

m — h — A: = ig^ m-k- h -^ k = if^

a -^ p =. h-Jr '2/?, c -h ^ = A -h a^,

d'où

il viendra, en se reportant aux formules (2) et (3),

^r(i— /-*— ;d— ^)r(A-h/>-Hi)r(X:-h9-+-i)r(/?-+-i)r(^-i-i)r(i-H/> — y?-^)

Nous observerons que m et A -i- Ar sont de même parité et, par conséquent, que /, ^, a -h 5 et ^ sont entiers. Cela va nous permettre de transformer la formule; et, en effet, si / est un entier, on a

Cetle formule résulte de la relation connue

siii5ir

el du fait que, si / est entier, on a

sin(5 -h l)n = ( — 1)' sinsTT.

260. Le polynôme P n'est autre chose, à un facteur constant près, que l'un des cas particuliers de la série hypergéométrique à deux variables étudiée par M. Appell. Introduisons, en effet, la notation de M. Appell, en posant

(a m) = —-^rrr. = tt; — ^ — (— 0'"-

La première expression se présente sous une forme indéter-

minée quand a et a + /n sont des entiers négatifs ; mais il est aisé de voir que la vraie valeur est alors le produit

et d*ailleurs la deuxième expression est alors déterminée. Nous aurons alors

. r( A -r- />-i-i) , Tik^g -fi) ^A-hi, />)= — r L > {k^i,q) = — rr-i '

ru—/*—*)

{/— 5, ^ -,- ^ ) = I — I iP^I j '-^ ,

d'où

Fil ^g — p — q)'

Fil — f — s\T i h — i>r<^-^i»r«^^-i)

iBiri t A -»- K /> • 1 I . /> » • A* — i. q t\i, q i

On reconnaît, dans l'expression ^7 ^ la série hypergéométrique à deux variables de M. \ppeU.

Nous avons supposé dans ce qui précède h et k positifs, mais nous n'a\ons pas ainsi restreint la généralité et, en effet, Z ne change pas quand on change, soit 3 en ^~', soit %v en w~* ; d'où il suit que le coeftîcient de

est le même que celui de

^ï|< On s^it que Ia fonction de M. Appell satisfait à deux tH|UAlion> Auv dcri\tv^ jMrliolIcs : on doit s attendre à ce qu'il en >oil iiiuM do notrt^ (H^huornc P qui n'eu ditlere que par un facteur couMAWtî c'o>t ce qu'il est aise de \éritier. Soient, en effet, Z'et /. Ic> dori\ce> priMiùoix^> et >ei"onde> de Z par rapport à

il viendra

(8) -r- — 'xZ'(a — fxcosÇ — vcosT));

(9) ;7~ ~ — îZacosÇ, -3-= — îZacosTj,