II
-r-T = 4a*Z COS>f, -7 T- = 4«*Z COSfc COST),
afji* a|ji av
(12) ^ =4Z'(a-cos(i)«-h'iZ',
= — 43tZ'(a — cosd) cos$ — iZ'cos^,
dx é/v
= — 4*Z'(a — cosc) cosTfj — 2Z' cosrj,
ce qui nous montre que ces onze dérivées partielles de Z peuvent s'exprimer linéairement en fonctions des neuf quantités suivantes :
Z', Z'cos$, Z'COSTJ,
(14 ) l Z', Z'cos$, Z'cosT^,
' Z'co5*Ç, Z" cos$ C0S7), Z'cos*r,,
les coefficients étant des polynômes entiers en a, [x, v.
D'ailleurs, ces quantités (i4) ne sont pas indépendantes, elles sont liées par les relations
,/(i-f-a-)Z' — 'lafjiZ'cosJ
— 2avZ'cOST) = — (5H-l)Z'j
(n-a«)Z'cosJ — aaaZ'cos*^ (i5) /
— 9.avZ' cosÇ cosT) = — (5 -h i)Z'cosÇ.
(1 -H a* )Z' cosTfj — 'i2ixZ' ces 5 costj
— aavZ'cos'r, = — (5 -t- i;Z' cost,.
Il est aisé de comprendre l'origine de ces trois relations.
De
nous dt^duîsons
FZ'=: — (5-+-l)Z'.
En remplaçant F par sa valeur, on aura la première relation (i5) et Ton aura la deuxième ou la troisième en multipliant la première par cos; ou par cost,.
Mais nous pouvons aller plus loin; les relations (8) à (i3) nous uiimtrent que les onze dérivées
dZ
dZ
dZ d^Z d^Z
,<f»Z ^ d»Z dr* ' " d% diL
</sZ €i%d^
sVxpriment linéairement en fonctions des dix quantités
Z i', Z'icos;. Z'acosT,.
07» Z'a*» Z*x*ct><';, Z'x' co5;cosT,, Z'i*cos*r,,
' Z'iV Z' 1*005;, Z'a*co*T..
Ie$ ciH^tïîcients étant des polynômes entiers en a et en v indépen- </aii/5 </f* x« IVautre ^virt, la première relation « 1 5 k multipliée |\jir a*^ sem une relation liné#iire entre les dix quantités (17); nou$ a\ous donc douie restions linéaires entre les vinçt-deux quantités . iCi ■ et ■ 17 : en éliminant les dix quantités < 17 1 il nous rt"<ter* deux relw^tîons entrv les qu4ntite> 16 .
// r <i t/o»i«\ <ri/»v lt$ onz^ d^rix^r^s i6 , deux reiaiions ,«'\Aîi»v,< </ot/ Us Ci^j^xTiV'iis sont d^s f^.'lv nomes entiers en jx
et en >.
iV nous js^u\ons fv^>er
f = Vi ,-^«*» = Vi ,»i: »^~*^.
AXfN^ M jvAr e\eïr,; > 4 et i >ont iv.>::it>
Ihi \>va A^v,^ ^j,î<-, àj;x\s >> . \\5f cui^-;;:r> :T , ie cv^fBcient de
se réduit respectivement à
mU, ^, ^, -A«U, -;t«U, afx av
rf«U rf«U </«U , ,, dU du
d\L^ d\Ld^ d^^ d\i. av
Si donc nous prenons Tune des deux relations linéaires dont il vient d'être question et qui lient les dérivées (i6) et que, dans cette relation, j'égale à zéro le coefficient de
j'obtiendrai une relation linéaire entre les dérivées
d\} dU rf«U rf«U rf«U
ii\L d^i d\L^ d\Ld^* r/v*
Donc le coefficient U satisfait à deux équations linéaires aux dérivées partielles du deuxième ordre, dont les coefficients sont des polynômes entiers en [jl et v.
Ce sont les équations de M. Appell.
262. Je rappelle la forme de ces équations telles que M. Appell les a établies dans son Mémoire du Journal de Liouville (p. 182, 1882).
{x — x^)r — y^t — ixys
-H [y-h (a-+- p -it-\)x]p — (a -H p -+- \)yq — a^jf = o,
{y — y^)t — x^r — 'ixys
-H [y— (a -h P -hi)y]q — (3t-+- ^ -h \)xp — i^z = o.
Dans ces équations x e\. y sont les variables; z est la fonction inconnue, /? et q sont ses deux dérivées du premier ordre; r, 5, t ses trois dérivées du deuxième ordre.
Pour passer de ces équations à celles auxquelles doit satisfaire U, il suffit de faire
Mais une première observation se présente. Les équations li-
72 CHAPITRE WIII.
néaîres simultanées (19) ne comportent pas une solution unique; elles comportent quatre solutions linéairement indépendantes, ainsi que Ta montré M. Appell. Quelle est alors, dans le cas qui nous occupe, la signification de ces diverses solutions?
Reportons-nous à ce que nous avons dit au n" 24-2, et appliquons des principes analogues au problème qui nous occupe; nous verrons que le coefficient de s*«'* dans le développement de Z sera égal à
— 1 r r tdz dw
(ao)
L'intégration doit être prise par rapport à 5 le long d\in cercle ayant pour centre l'origine et pour rajon l'unité et par rapport à (V le long d'un cercle analogue tracé dans le plan des w. La combinaison de ces deux cercles définit un contour fermé à deux dimensions le long duquel doit être prise l'intégrale double. En d'autres termes, le coefficient cherché est une période de rintégrale double (20).
Pour avoir U, il faut développer ce coefficient, qui dépend de a, suivant les puissances croissantes de a et conserver le coefficient de a*».
Mais l'intégrale double (20) possède d'autres périodes que celle que nous considérons; une quelconque de ces périodes est fonction de a et peut être dé>eloppée suivant les puissances croissantes de a. Le coefficient de a'" dans ce développement satisfera aux mêmes équations difl'érentielles de U. La multiplicité des solutions des équations (19) s^ explique donc par la multiplicité des périodes de r intégrale (20).
