La série hypergéométrique de M. Appell

peut être exprimée par le moyen d'une intégrale définie, mais je me bornerai sur ce point à quelques brèves indications. Considérons rintégrale

uf*-^(i — u)<r-^ du

que nous prendrons le long d'une ligne allant de l'infini à l'infini en passant entre les deux points o et i .

On pourra faire, par exemple, a = - -4- iu' et faire varier u' par

valeurs réelles depuis — ao jusqu'à -H oo. Cette intégrale sera finie et déterminée pourvu que

Dans ces conditions, à un facteur près C facile à déterminer et qui ne change pas quand p ou q augmente d^un nombre entier y notre intégrale est égale à

VKp^q)'

D'autre part, notre série hypergéométrique (à un facteur constant près, indépendant de t et de jk comme de m et de /i) est égale à

r(i — Y — m)r(Y— -a — n) Pi i — y'— /j) r( y'— P — m) r(i — a m ^ n) T{i — ^ — m — n)

On voit que chaque terme sous le signe \] est décomposé en quatre facteurs; le premier facteur c'est l'intégrale

/ a-Y-"*(i — u )Y-»-«-" du,

à un facteur près C qui est indépendant de m et de /i, puisque m et n sont entiers (et que le facteur C, ainsi que nous venons de le remarquer, ne change pas quand l'un des exposants augmente d'un nombre entier).

De même le second facteur, à un facteur constant près, c'est l'intégrale

t;-Y'-«( I — (;)Y'-l-P-'« dv.

Remarquons que toutes nos intégrales sont finies, au moins pour les valeurs de a, ^, y, y', qui satisfont à certaines inégalités.

74 CHAPITRE WIII.

Le troisième facteur est un terme du développement de

et le quatrième est un terme du développement de Nous trouvons donc

ou bien 2//rf«*«-T(.-«)T-'-«-r(,-.)T--PA,„[^^^]'"B„[;;^]'.

OU bien

OU enfin

(21) / I dudvu**v^(u — uv — x)^{v — uv — y)^

avec

L'intégrale doit être prise tant par rapport à u que par rapport à i^ le long d'une ligne allant de Tinfini à Tinfini en passant entre o et I. Les autres solutions des équations (19) pourraient être représentées par cette même intégrale (21) prise le long d'autres concours convenablement choisis.