Envisageons toutes les séries

2(ai, /n -H /i)( 3,, m -+- n) — i — : ^ ^ ~" L ^m yn

où les constantes a,, ^1,71, Yi sont égales à a, ,8, y, 5 augmentés d'un nombre entier. Je dis que toutes ces séries pourront s'exprimer

linéairement à Taide de quatre d'entre elles, les coefficients de Fexpression linéaire étant des fonctions rationnelles de x et de y.

Soient, eneflet, Z|, ^3, z^^ z^ quatre solutions des équations (19); la solution générale de ces équations sera une combinaison linéaire de ces quatre solutions; quand x ei y reviendront à leurs valeurs primitives, après avoir varié d'une manière continue, il pourra se faire que ces solutions ne reviennent pas à leur valeur primitive, si les variables x ely ont tourné autour d'un point singulier. Mais alors les solutions ^1, ^27 ^37 ^4 auront subi une transformation linéaire à coefficients constants; c'est tout à fait analogue à ce qui se passe dans le cas des équations différentielles linéaires ordinaires.

Cela posé, considérons quatre systèmes d'équations analogues aux équations (19), mais où les constantes a, p, y, paient des valeurs différentes, et supposons que la différence des valeurs de a pour deux de ces équations soit un nombre entier (et de même pour p, y, y); soient

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