AD

rU)

les quatre solutions fondamentales de chacune de ces quatre équations. De ce que les différences entre les a, . . . sont supposées être des nombres entiers, il résulte ceci, ainsi que le montrerait aisément l'étude des équations (19), c'est que, si jt et jk décrivent un contour fermé,

subiront la même transformation linéaire que

^Xi ^\t ^li -**•

Donc les déterminants contenus dans la matrice

:in

seront multipliés par un même facteur. Les rapports de ces déterminants sont donc des fonctions uniformes et Ton verrait aisément (puisque nous n'aurions pas de point singulier transcendant) que ces fonctions uniformes sont rationnelles. Nos déterminants sont

donc proportionnels à des fonctions

f^t Rli Ï^Si 1^3-» *U

qui sont des polynômes entiers en a? et en jk 5 de sorte que nous aurons la relation

ce qui montre la possibilité d'exprimer linéairement toutes nos fonctions à l'aide de quatre d'entre elles.

On arriverait facilement au même résultat en partant des intégrales (21), ce qui permettrait de former effectivement ces relations (22). Je reviendrai plus loin sur ce point.

Il semble d'abord que ce résultat, important pour la théorie des séries hypergéométriques les plus générales, soit sans intérêt dans le cas particulier qui nous occupe; cas où ces séries se réduisent à des polynômes entiers. Mais il faut observer que ces polynômes peuvent être de degré très élevé, car le nombre m du n" 2o9 d'où dépend ce degré peut être très grand; tandis que les degrés des polynômes R de la relation (22) restent limités si les différences entre les a (ou entre les p, les y, les v') restent des entiers limités, surtout si ces différences sont toutes égales à o ou à it i; c'est ce qui permettrait d'établir entre les polynômes hypergéométriques de M. A.ppell un système de relations de récurrence qui en faciliterait considérablement le calcul.

Ces relations seraient analogues aux relations de récurrence établies par Gauss entre ses séries hypergéométriques et que l'on trouvera à la page i3o du Tome III de ses OHuvres complètes, éditées par la Société de Giittingen.

26o. Quels sont les points singuliers de la série de M. Appell, considérée comme fonction de x et de y. On peut les trouver de deux manières différentes, en partant des équations (19). Je suppose que l'on ait différentié ces deux équations par rapport aux deux variables x et y; on obtiendra quatre équations, où figureront

linéairement les quatre dérivées troisièmes de z. Les coefficients (le ces quatre dérivées dans ces quatre équations seront

X — r* — ixjr — jr^ o,

o X — x^ — 2xy — y^j

— x^ — ixy y — y^ o,

o — x^ ^ -ixy y — ^*,

dont le déterminant est égal à

Les points singuliers nous sont alors donnés par x = o^ y = o

et

ar» -4-^1 -+- I — 2xy — 2X — iy = o,

c* est-à-dire

On pourrait arriver au même résultat en partant de l'intégrale (21); les points singuliers de la fonction définie par cette intégrale s'obtiendront en envisagent les quatre facteurs de la fonction sous

le signe /

M, t», a—uv — x^ V — uv—y»

Si Ton regarde un instant u eii^ comme des coordonnées rectangulaires et qu'on égale ces facteurs à zéro, on obtiendra les équations de deux droites et celles de deux hyperboles. Il y aura un point singulier, si les deux hyperboles se touchent ou si trois de ces facteurs s'annulent à la fois.

Quand la variable x tourne autour de zéro, deux des solutions particulières des équations (19) ne changent pas et deux autres sont multipliées par un facteur constant; il en est de même quand la variable^ tourne autour de zéro. Quand xet^ tournent autour d'un point singulier satisfaisant à l'équation (28), il y a trois solutions qui ne changent pas et une qui est multipliée par un facteur constant. On vérifierait aisément ces résultats et l'on déterminerait ces facteurs par Tétude des équations (19).

Dans le cas particulier qui nous occupe, la série de M. Appell se réduit à un polynôme, elle n'a donc aucun point singulier et les points singuliers que nous venons de déterminer appartiennent seulement aux solutions des équations (19).

78 CHAPITRE XVIll.

D'autre part, dans ces cas particuliers, nous avons

d'où

Nous retombons donc justement sur Tun des points singuliers définis par Téquation (23). Cela n'a pas d'inconvénient puisque ces points singuliers, comme je viens de le dire, n'appartiennent pas à notre polynôme, mais seulement aux autres solutions des équations (19). Nous verrons même bientôt qu'il résulte de là une simplification.

266. Jusqu'ici nous avons raisonné comme si jxetv étaient deux variables indépendantes. Nous savons qu'elles sont liées parla relation

JJL -4- V = I

de sorte que le polynôme P, qui était entier en jjl- etv^, devient un polynôme entier en v seulement. M. Appell a transformé les équations (19) en y remplaçant y par v- et x par (i — v)^; il montre ainsi {Journal de Liouville, 1884), par un calcul que je ne reproduirai pas, que la solution générale z de ces équations (19) et par conséquent P satisfait à une équation du troisième ordre. Il forme cette équation (p. 4*8) et Técrit :

z', z", ... sont les dérivées successives de z par rapport à v; les constantes a, b, . . , ont pour valeurs

a = A — "^ -h lY = -^ '^ ^ -^ "^ -^ s,

d= — i{iB-h'iXY -Y) = — 4B-h4(A:-+-i) {h-^k-^s — -\

/ = 4B(Y-hY' — i) = 4B(Ah-A:4- I),

Comment se fait-il que nos équations (19), qui admettaient quatre solutions indépendantes, se trouvent transformées en une équation du troisième ordre qui n'en admet plus que trois? Cela est aisé à eipliquer. En effet, la relation |jl -1- v = i équivaut à la relation (23) qui définit un des points singuliers. Quand on tourne autour de ce point singulier, trois solutions restent holomorphes, tandis que la quatrième est multipliée par un facteur constant^ elle devient donc nulle ou infinie (suivant les valeurs de a, etc.) au point singulier; donc, quand on fait |i. = i — v, Tune des quatre solutions disparaît et il n'en reste plus que trois.

267. Dans le cas particulier de s = -y il se produit une grande

simplification, comme l'avait montré M. Tisserand et comme l'a retrouvé depuis M. Appell par un calcul que nous allons résumer. Désignons toujours, en effet, par les lettres />, çr, r, 5, t les dérivées premières et secondes de z par rapport k x et à ^, et faisons

a: r= pL« = (i — v)«, ^ = v«,

il viendra

/ dz

En éliminant r, s et t entre ces deux équations et les deux équations (19), et se rappelant que |jl -1- v := i , on trouve

d^z dz

(•25 bis) ^i\ — >t) -T-T -+■ (Av H- B) -7- -+- G-5 = 2D (pu -t- ov)

av* av ' ' ''

OÙ A, B^ C, D sont des constantes, et où

en remplaçant a, ^3, y, y' par leurs valeurs

/-h 5, — ^, Ah-i, X:-hi,

et nous rappelant que

8o CHAPITRE XVIll

nous trouverons

Donc, pour 5= -, noire inconnue z satisfait à l'équation diilé-

rentielle linéaire du second ordre que l'on obtient en égalant à zéro le premier membre de (25 bis). On reconnaît la forme des équations auxquelles satisfont les séries hypergéométriques de Gauss à une variable.

Donc dans le cas de s = -, notre polynôme P se réduit à une

série hyper géométrique de Gattss à une seule variable. Il arrive alors qu'une seconde solution des équations (19) s'annule identiquement pour ui 4- V = I. L'élimination de /*, 5, t entre les équations (19) et (26) présente quelques particularités. Si l'on ajoute les équations (19) et seconde équation (23) respectivement multipliées par

on verra disparaître à la fois les termes en r, 5 et £ si l'on suppose

fi -H V = i:

il nous restera donc après l'élimination non pas une, mais deux équations dont la combinaison fournira (20 bis).

ât>8. Supposons maintenant 5= 1. Il semble d'abord que cela n'ait pas d'intérêt puisque s doit toujours être la moitié d'un nombre impair. Mais on verra bientôt que la simplification que nous allons obtenir aura une application importante.

Dans le cas de 5 = i, le polynôme P devient, pour [x = i — v, non plus un polynôme hjpergéométrique de Gauss a une variable,

ainsi que cela arrivait pour 5 = -> mais le carré d'un pareil polynôme. En eflet :

La série hypergéométrique de Gauss satisfait à une équation différentielle du deuxième ordre, son carré satisfait donc à une équation du troisième ordre qu'il est aisé de former. Si nous cher-

LES POLYNOMES DE TISSERAND. 8l

choDS à identifier cette équation avec Téquation (24)9 nous verrons que ridentification est possible dans le cas de 5 = 1 .

Ce résultat, dû d'abord à Tisserand, a été démontré par Stieltjes d'une façon fort élégante. Reprenons les équations (19) et faisons-y un changement de variables en posant

a^ = (' — p)(i — p')» r = pp';

nous verrons que, dans le cas de 5=1, les équations (19) se ramènent à deux équations linéaires du deuxième ordre, dont Tune

ne contient que p» ^7 ;7- > ;7-i» tandis que l'autre ne contiendra que

p', 2, --7-, y -7-T^' On passe d'ailleurs d'une de ces équations à l'autre

en accentuant partout la lettre p.

La première de ces équations est une équation difTérentielle linéaire ordinaire entre z et p, et l'on voit facilement que c'est j)récisément celle qui définit une série hypergéométrique ordinaire de Gauss. Si donc z = F(p) est une solution de cette équation, on satisfera au système des deux équations en faisant

On conclura de là que notre polynôme hypergéométrique à deux variables est à un facteur constant près le produit de deux polynômes hypergéométriques à une variable, l'un en p, l'autre en p'.

Faisons maintenant

c'est-à-dire

^ = p« = v», a? = (i — p}«= ji«; p=iv,

il viendra

On voit que, quand on tiendra compte de la relation

ji-Hv = i,

notre polynôme hypergéométrique à deux variables deviendra à un facteur constant près le carré d^ un polynôme hypergéométrique à une variable en v. c. q. f. d.

Je renverrai, pour le détail du calcul, au Traité de Mécanique céleste de Tisserand, t. I, p. 488 et suivantes.

269. Pour comprendre l'application possible du résultat précédent, reportons-nous au commencement du Chapitre; soit

F-' = I — - j =(i — aacosff H- a*)-'.

Nous avons trouvé

P étant le polynôme h jpergéomé trique à deux variables que nous venons d'étudier. Dans le cas de 5= 1, nous venons de voir que ce polynôme est à un facteur constant près le carré d'un polynôme hypergéométrique à une variable. Mais dans ce cas on a

Il est aisé de développer le dernier membre suivant les puissances

de a et l'on trouve

sin(m -H i)t

fftt

sinv

Donc le polynôme P n'est autre chose que le coefficient de

dans

sin (m ■+- i)ff

sinv

en supposant

•i COS T = |1 ( 5 -+- -5—* ) -h V ( fV H- IV- * ).

Ce coefficient s'exprime donc à l'aide des polynômes de Gauss (polynômes hypergéomélriques à une variable).

Supposons maintenante quelconque et revenons à la formule (i), elle peut s'écrire

(aG)

* ^ ^ sin 7 ^ ' siiiv

LKS POLYNOMES DE TISSERAND. 83

Or nous venons de voir que les expressions de la forme

sin {k -H i)ff

sinv

pouvaient se développer à l'aide des polynômes de Gauss; il en est donc de même de F~'.