On peut encore opérer d'une autre manière. Ecrivons

F-' = ( iH- a« )-'(i — a P cosa )-', où

il reste à développer

(i — aPcosT)-*.

Il est évident que nous obtiendrons ce développement en nous reportant aux formules (2) et (3), en y remplaçant a par p, et en n'y conservant que les termes où e = o.

Or, ces termes seront ceux où

c'est-à-dire ceux où l'exposant de ^ (qui remplace a) est la somme de ceux de [jl et de v ; il suffira donc de conserver, dans le polynôme P, les termes du degré le plus élevé en u et v.

Nous avons trouvé plus haut

(27) F-' =VPa"»( — jJLZ)'^(— viv)*

et nous trouvons maintenant

F-' = (i-f a«)-'2Po(j^^)"(-{x^)/'{-vti.)^

Po étant ce que devient P quand on n'y conserve que les termes du degré le plus élevé en [x et en v; or, nous avons, à un facteur constant près,

a, 6, c, c' étant des constantes et b entier né'^atif. II faut conserver

84 GHAPITIIE XVIII.

les termes du degré le plus élevé, c'est-à-dire faire

d'où

Le facteur

est également constant.

(c', 9) = (c\ — 6 — />) = ( — OA»

ru — c' -k- b ->r- p )

Fil — c' H- A)(i — c' -Jt- b, p)^

de sorte que (c\ q) est en raison inverse de

De même (i^ g) est en raison inverse de (6, />); nous avons donc, à un facteur constant prés.

^ {i'—c'-hb,p){b. p\ / \^Y

c*ost~à-dire que Pt est égal à v '^multiplié par un poljnome hjpergoomclnque de Ciauss en ~ =r cot* -•

Si nous mpproohons les relations ^26^, (27) et (28), nous pouvons rt^sumer nos rt^sultats comme il suit :

Nous \oulons dê>elopper S~^ et nous cherchons le coefficient d\ine exponentielle quelconque

iVtle c\jH>uentiollo j^ut être toujours mise sous la forme

ce cootVu icut èt;iut di>i>iHe jvir it* >* je l'appellerai

M vK pond do X, do u et do >. Je puis le do\oK>pper :

i"" >ui>Aut lo< puis!<a\OT^> vio au le cootùoioul de x* est alors un

poljnoine hypergéométrique d'Appell à deux variables en cos^ - >

sin^ -> qui se réduit à un polynôme de Gauss en sin* - pour 5 = -•

2" Suivant les coefficients de Laplace bf^ qui sont des fonctions de a; le coefficient de 6^^^ est alors la différence des carrés de deux

polynômes de Gauss en sin^ - ;

3^ Suivant les quantités

le coefficient de chacune de ces quantités est alors égal à

sin* (/«—A— A:) »

multiplié par un polynôme de Gauss en cot* -•

Dans les trois cas le calcul des polynômes de Gauss peut être simplifié par les relations de récurrence dont j'ai parlé plus haut et que Gauss a démontrées dans le Tome III de ses Œuvres complètes, p. i3o et suivantes.